Συνήθης διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης

Giorgos S · #1

Ψ'αχνοντας και διαβάζοντας για επίλυση διαφορικών εξισώσεων διάφορων μορφών, μου ήρθε στο μυαλό το εξής:

$\displaystyle f''(x)x^2=6f(x) , x \in \mathbb R$ .

Δύο λύσεις είναι: f(x)=0

και $\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{3}$ .

Ένας τρόπος επίλυσης είναι με χρήση της μεθόδου Euler, την οποία όμως δεν κατέχω και δε μου φαίνεται σχολική.

Και η απορία μου είναι: μπορεί να υπάρξει σχολική αντιμετώπιση; (ο φάκελος ίσως να μην είναι ο κατάλληλος)

Ας βοηθήσει όποιος μπορεί.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Giorgos S έγραψε:Ψ'αχνοντας και διαβάζοντας για επίλυση διαφορικών εξισώσεων διάφορων μορφών, μου ήρθε στο μυαλό το εξής:

$\displaystyle f''(x)x^2=6f(x) , x \in \mathbb R$ .

Δύο λύσεις είναι: και $\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{3}$ .

Ένας τρόπος επίλυσης είναι με χρήση της μεθόδου Euler, την οποία όμως δεν κατέχω και δε μου φαίνεται σχολική.

Και η απορία μου είναι: μπορεί να υπάρξει σχολική αντιμετώπιση; (ο φάκελος ίσως να μην είναι ο κατάλληλος)

Ας βοηθήσει όποιος μπορεί.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Αν αντί για είχαμε τα πράγματα είναι απλά.

Θέτοντας $\displaystyle{f(x) = {x^a}}$ , βρίσκουμε $\displaystyle{a = 3}$ ή $\displaystyle{a = -2}$ , συνεπώς δυο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις είναι $\displaystyle{{y_1} = {x^3}}$ και $\displaystyle{{y_2} = \frac{1}{{{x^2}}}}$ .

Η γενική λύση της Δ.Ε. είναι $\displaystyle{f\left( x \right) = {c_1}{x^3} + {c_2}\frac{1}{{{x^2}}}}$ .

Giorgos S · #3

Σε αυτή τη μέθοδο ανεφερόμουν και στην οποία δεν καταλαβαίνω με ποιο σκεπτικό θέτουμε f(x)=x^a

. Υπάρχει παρόλα αυτά άλλος τρόπος;...

BAGGP93 · #4

Σεραφείμ έγραψε:Θέτοντας $\displaystyle{f(x) = {x^a}}$ , βρίσκουμε $\displaystyle{a = 3}$ ή $\displaystyle{a = -2}$ , συνεπώς δυο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις είναι $\displaystyle{{y_1} = {x^3}}$ και $\displaystyle{{y_2} = \frac{1}{{{x^2}}}}$ .

Η γενική λύση της Δ.Ε. είναι $\displaystyle{f\left( x \right) = {c_1}{x^3} + {c_2}\frac{1}{{{x^2}}}}$

Να κάνω μία ερώτηση.

Από τη δοσμένη σχέση για $\displaystyle{x=0}$ παίρνουμε $\displaystyle{f(0)=0}$ .

Συνεπώς, η λύση που έδωσε ο κύριος Τσιπέλης ισχύει για τα διαστήματα $\displaystyle{\left(0,+\infty\right)\,\,\kappa \alpha \iota\,\,\left(-\infty,0\right)}$ ,

σωστά ;

Από τη συνέχεια της $\displaystyle{f}$ στο σημείο $\displaystyle{x=0}$ δεν παίρνουμε ότι $\displaystyle{c_2=0}$ ;

Αν δεν ίσχυε αυτό, τότε θα είχαμε $\displaystyle{\lim_{x\to 0}f(x)=\infty}$ , άτοπο.

Τότε, οι λύσεις που ψάχνουμε είναι οι $\displaystyle{f(x)=c_1\,x^3\,,x\in\mathbb{R}}$ ;

Ευχαριστώ.

#5

τρόπος σχολικός αλλά με πολλα λεπτά σημεία,

$\displaystyle{f''(x)x^2=6f(x)\Rightarrow f''(x)x^3=6xf(x)\Rightarrow}$ με $\displaystyle{x\ne 0}$
$\displaystyle{f''(x)x^3+3x^2f'(x)=3x^2f'(x)+6xf(x)\Rightarrow}$
$\displaystyle{(f'(x)x^3)'=(3x^2f(x))'\Rightarrow }$
$\displaystyle{(f'(x)x^3)=(3x^2f(x))+c_1,c_1=0\Rightarrow }$
$\displaystyle{(f'(x)x^3)-(3x^2f(x))=0\Rightarrow }$
$\displaystyle{\frac{(f'(x)x^3)-(3x^2f(x))}{x^6}=0\Rightarrow }$
$\displaystyle{(\frac{f(x)}{x^3})'=0\Rightarrow }$
$\displaystyle{\frac{f(x)}{x^3}=c_2,x>0 , \frac{f(x)}{x^3}=c_3,x<0 , f(0)=0}$
...

#6

επίσης παρόμοια παράγεται και η λύση $\displaystyle{x^{-2}}$
$\displaystyle{f''(x)x^{-2}=6x^{-4}f(x)}$ τότε
$\displaystyle{f''(x)x^{-2}-2x^{-3}f'(x)=-2x^{-3}f'(x)+6x^{-4}f(x)}$
...

Giorgos S · #7

Σας ευχαριστώ

Συνήθης διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης

Συνήθης διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης

Re: Συνήθης διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης

Re: Συνήθης διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης

Re: Συνήθης διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης

Re: Συνήθης διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης

Re: Συνήθης διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης

Re: Συνήθης διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης

Μέλη σε σύνδεση