Ελάχιστο παράστασης!

#1

Αν $\displaystyle{x,y>0}$ με $\displaystyle{x+y=2}$ , να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle{K=x^x+y^y.}$

Γιώργος Απόκης · #2

Ισχύει

άρα η παράσταση γίνεται $K=x^{x}+(2-x)^{2-x}$ .

Θεωρούμε τη συνάρτηση $K(x)=x^{x}+(2-x)^{2-x}, x \in (0,2)$ με
$K{'}(x)=x^{x}(lnx+1)-(2-x)^{2-x}[ln(2-x)+1]$ και
$K{''}(x)=(2-x)^{1-x}+x^{x-1}+(2-x)^{2-x}[1+ln(2-x)]^{2}+x^{x}(lnx+1)^{2}>0$ για $x \in (0,2)$

H εξίσωση K{'}(x)=0

έχει προφανή ρίζα το 1, η οποία είναι μοναδική αφού K{''}(x)>0

άρα η

είναι 1-1.

Αφού K{'}

γνησίως αύξουσα και συνεχής στο (0,2)

έχουμε:
Για 0<x<1

ισχύει $K{'}(x)<K{'}(1)\Rightarrow K{'}(x)<0$ δηλαδή η Κ γνησίως φθίνουσα στο (0,1]

Για

ισχύει $K{'}(x)>K{'}(1)\Rightarrow K{'}(x)>0$ δηλαδή η Κ γνησίως αύξουσα στο [1,2)

Από αυτά συμπεραίνουμε ότι η K παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 1, το K(1)=2

.

Γιώργος Απόκης · #3

To έψαξα λίγο σήμερα κι έχει ενδιαφέρον το γεγονός ότι είναι γενικότερο το συμπέρασμα. Συγκεκριμένα:

Αν x,y>0

με

, να βρεθεί το ελάχιστο της παράστασης $K=x^{x}+y^{y}$ .

Με διαδικασία εντελώς ανάλογη με πριν, προκύπτει ότι η Κ έχει ελάχιστο στο

, το
$K(c)=2c^{c}$

#4

matha έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 27, 2011 12:49 am
Αν $\displaystyle{x,y>0}$ με $\displaystyle{x+y=2}$ , να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle{K=x^x+y^y.}$

Είναι $\displaystyle{x^x\geq x}$ οπότε $K=x^x+y^y\geq 2...$

#5

Γιώργος Απόκης έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 27, 2011 2:17 pm

Αν με , να βρεθεί το ελάχιστο της παράστασης $K=x^{x}+y^{y}$ .

Η $x\mapsto x^x$ είναι κυρτή, οπότε από Jensen...

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 56&t=32325

Ελάχιστο παράστασης!

Ελάχιστο παράστασης!

Re: Ελάχιστο παράστασης!

Re: Ελάχιστο παράστασης!

Re: Ελάχιστο παράστασης!

Re: Ελάχιστο παράστασης!

Μέλη σε σύνδεση