Κυρτή ;

KARKAR · #1

Έστω : $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{e^{x-1}+lnx-1}{x-1} & , x>0 , x\neq1\\ \\ k & , x=1 \end{matrix}\right.$

Αν η

είναι συνεχής , είναι κυρτή ;

KARKAR · #2

Ας απαντήσουμε πρώτα στο απλούστερο :

Έστω : $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{e^x-1}{x} & , x\neq0\\ \\ k & , x=0 \end{matrix}\right.$

Αν η

είναι συνεχής , είναι κυρτή ;

#3

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 06, 2022 9:05 am
Ας απαντήσουμε πρώτα στο απλούστερο :

Έστω : $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{e^x-1}{x} & , x\neq0\\ \\ k & , x=0 \end{matrix}\right.$

Αν η είναι συνεχής , είναι κυρτή ;

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1$

η παράγωγος της e^x

στο

και λόγω συνέχειας k=1.

Άρα, $\displaystyle f(x) = \left\{ \begin{matrix} \dfrac{{{e^x} - 1}}{x},x \ne 0\\ \\ 1, x = 0 \end{matrix} \right.$ με $f'(x) = \left\{ \begin{matrix} \dfrac{{(x - 1){e^x} + 1}}{{{x^2}}},x \ne 0\\ \\ \dfrac{1}{2},x = 0 \end{matrix} \right.$

Πράγματι, με χρήση του De L' Hospital βρισκω $\displaystyle f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{{e^x} - 1}}{x} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{e^x} - x - 1}}{{{x^2}}} = \dfrac{1}{2}$

Ομοίως βρίσκω $\displaystyle f''(x) = \left\{ \begin{matrix} \dfrac{{({x^2} - 2{x} + 2){e^x} - 2}}{{{x^3}}},x \ne 0\\ \\ \dfrac{1}{3},x = 0 \end{matrix} \right.$ H συνάρτηση είναι λοιπόν δυο φορές

παραγωγίσιμη. Θέτω $\displaystyle g(x) = ({x^2} - 2x + 2){e^x} - 2.$ Θα δείξω ότι $\displaystyle \frac{{g(x)}}{{{x^3}}} > 0,x \ne 0.$

$\displaystyle g'(x) = {x^2}{e^x} > 0,$ άρα η

είναι γνησίως αύξουσα, οπότε $\displaystyle f''(x) = \frac{{g(x)}}{{{x^3}}} > 0,x \ne 0.$ Επομένως η

είναι κυρτή.

#5

Επειδή έχει ήδη αποδειχθεί παραπάνω ότι είναι κυρτή η $f(x)=\dfrac{e^{x-1}-1}{x-1}$ , αρκεί πλέον να δειχθεί ότι είναι κυρτή και η $g(x)=\dfrac{lnx}{x-1}$ . Ισχύει η $g''(x)=\dfrac{2x^2lnx-(x-1)(3x-1)}{x^2(x-1)^3}$ , οπότε αρκεί να δειχθούν οι $lnx>\dfrac{(x-1)(3x-1)}{2x^2}$ για x>1

και $lnx<\dfrac{(x-1)(3x-1)}{2x^2}$ για x<1

. Αρκεί συνεπώς να δειχθεί ότι είναι αύξουσα η $h(x)=lnx-\dfrac{(x-1)(3x-1)}{2x^2}$ για x>0

, άμεσο από την $h'(x)=\dfrac{(x-1)^2}{x^3}$ .

Κυρτή ;

Κυρτή ;

Re: Κυρτή ;

Re: Κυρτή ;

Re: Κυρτή ;

Re: Κυρτή ;

Μέλη σε σύνδεση