Ας το ολοκληρώσουμε λοιπόν:Mihalis_Lambrou έγραψε:Η άσκηση μπορεί να λυθεί εντός σχολικής ύλης χωρίς να υπολογιστεί ηRatio έγραψε: Επίσης δεν έχω υπολογίσει αναλυτικά το τελευταίο ολοκλήρωμα καθώς δεν ξέρω κατά πόσο είναι στα όρια της σχολικής ύλης. Δίνω τα κύρια βήματα.
Θέλουμε το. Με κατά παράγοντες είναι
Με αλλαγή μεταβλητής και κατά παράγοντες το τελευταίο ολοκλήρωμα (δίνω γενικότερα το αόριστο) είναι (άσκηση)
![\int _0^2 g(x)dx = \left [ xg(x)\right ]_0^2 -\int _0^2 xg'(x)dx = 2g(2)- \int _0^2 x \ln (x^2+4)dx](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/78b208156299aa0b96eb1d36c20745d4.png "\int _0^2 g(x)dx = \left [ xg(x)\right ]_0^2 -\int _0^2 xg'(x)dx = 2g(2)- \int _0^2 x \ln (x^2+4)dx")
Θέτουμε
άρα
οπότε το αρχικό ολοκλήρωμα γίνεται
![\int xln(x^2+4)dx=\frac{1}{2}\int (lnu)du=\frac{1}{2}\int u'(lnu)du=\\\\ \frac{1}{2}ulnu-\frac{1}{2}\int u(lnu)'du= \\\\\frac{1}{2}ulnu-\frac{1}{2}\int u\frac{1}{u}du= \\\\\frac{1}{2}ulnu-\frac{1}{2}\int du= \\\\ \frac{1}{2}ulnu-\frac{1}{2}u + c= \\\\ \frac{1}{2}[(x^2+4)ln(x^2+4]-\frac{1}{2}(x^2+4)+c](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/dc5033afc7d6c6d11ba3e293602c995a.png "\int xln(x^2+4)dx=\frac{1}{2}\int (lnu)du=\frac{1}{2}\int u'(lnu)du=\\\\ \frac{1}{2}ulnu-\frac{1}{2}\int u(lnu)'du= \\\\\frac{1}{2}ulnu-\frac{1}{2}\int u\frac{1}{u}du= \\\\\frac{1}{2}ulnu-\frac{1}{2}\int du= \\\\ \frac{1}{2}ulnu-\frac{1}{2}u + c= \\\\ \frac{1}{2}[(x^2+4)ln(x^2+4]-\frac{1}{2}(x^2+4)+c")
άλλα σημεία είναι περιττές.
![\frac{1}{2}[ulnu]-\frac{1}{2}\int u(lnu)'du](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b69bafb961adde090daecc088f218536.png "\frac{1}{2}[ulnu]-\frac{1}{2}\int u(lnu)'du")
![\frac{1}{2}[ulnu]-\frac{1}{2}u](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/3c51dbe4ec3673bc820e2877d6f9775a.png "\frac{1}{2}[ulnu]-\frac{1}{2}u")
