Εξυπνη

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δίνεται η $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

με $f(x)=(x-1)^{2}(x-2)^{2}(x-3)^{2}$

1)Να δείξετε ότι η

παίρνει ολικό ελάχιστο
σε τρία ακριβώς σημεία τα οποία και να βρείτε

2)Να δείξετε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[3,\infty )$
και γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty ,1]$

3))Να δείξετε ότι η

έχει ακριβώς δύο τοπικά μέγιστα.

4)Να δείξετε ότι η εξίσωση f''(x)=0

έχει ακριβώς τέσσερεις ρίζες

5)Αν $0< a< \dfrac{3^{2}}{64}$ να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=a

έχει τουλάχιστον έξι ρίζες.

6)Να δείξετε ότι $\int_{1}^{2}f(x)dx=\int_{2}^{3}f(x)dx$

Σημείωση.Θεωρήστε γνωστό ότι κάθε πολυώνυμο βαθμού $n,n\geq 2$ έχει το πολύ

ρίζες.

#2

Το α) είναι προφανές.

β,γ) Είναι $\displaystyle{f'(x)=2(x-1)(x-2)(x-3)(3x^2-12x+11)}$ και το τριώνυμο έχει τις ρίζες $\displaystyle{2\pm \frac{1}{\sqrt{3}},}$ οπότε η διάταξη των ριζών της παραγώγου είναι $\displaystyle{1,2-\frac{1}{\sqrt{3}},2,2+\frac{1}{\sqrt{3}},3}$ και το πρόσημο είναι εναλλάξ $\displaystyle{+,-}$ ξεκινώντας από το τέρμα δεξία διάστημα $\displaystyle{(3,+\infty).}$

δ) Η $\displaystyle{f''}$ είναι πολυώνυμο 4ου βαθμού και έχει τουλάχιστον τέσσερις ρίζες (αφού το $\displaystyle{f'}$ έχει πέντε ρίζες). Άρα έχει ακριβώς τέσσερις ρίζες.

ε) Βρίσκοντας, κατά τα γνωστά, τα σύνολα τιμών της συνάρτησης στα επι μέρους διαστήματα, βλέπουμε ότι αν $\displaystyle{0<a<\frac{4}{27}}$ η εξίσωση σε κάθε 'ένα διάστημα έχει ακριβώς μια ρίζα, άρα συνολικά ακριβώς έξι.

στ) Προκύπτει άμεσα με ολοκλήρωση της $\displaystyle{f(x)=f(4-x)}$ (που είναι επίσης άμεση) στο $\displaystyle{[1,2].}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

matha έγραψε:Το α) είναι προφανές.

β,γ) Είναι $\displaystyle{f'(x)=2(x-1)(x-2)(x-3)(3x^2-12x+11)}$ και το τριώνυμο έχει τις ρίζες $\displaystyle{2\pm \frac{1}{\sqrt{3}},}$ οπότε η διάταξη των ριζών της παραγώγου είναι $\displaystyle{1,2-\frac{1}{\sqrt{3}},2,2+\frac{1}{\sqrt{3}},3}$ και το πρόσημο είναι εναλλάξ $\displaystyle{+,-}$ ξεκινώντας από το τέρμα δεξία διάστημα $\displaystyle{(3,+\infty).}$

δ) Η $\displaystyle{f''}$ είναι πολυώνυμο 4ου βαθμού και έχει τουλάχιστον τέσσερις ρίζες (αφού το $\displaystyle{f'}$ έχει πέντε ρίζες). Άρα έχει ακριβώς τέσσερις ρίζες.

ε) Βρίσκοντας, κατά τα γνωστά, τα σύνολα τιμών της συνάρτησης στα επι μέρους διαστήματα, βλέπουμε ότι αν $\displaystyle{0<a<\frac{4}{27}}$ η εξίσωση σε κάθε 'ένα διάστημα έχει ακριβώς μια ρίζα, άρα συνολικά ακριβώς έξι.

στ) Προκύπτει άμεσα με ολοκλήρωση της $\displaystyle{f(x)=f(4-x)}$ (που είναι επίσης άμεση) στο $\displaystyle{[1,2].}$

Ωραία Θάνο.

Τα ερωτήματα 2,3,4,5. μπορούν να εξαχθούν χωρίς υπολογισμό της παραγώγου.
Αν δεν γραφεί τέτοια λύση θα την γράψω.

Σταμ. Γλάρος · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
matha έγραψε:Το α) είναι προφανές.

β,γ) Είναι $\displaystyle{f'(x)=2(x-1)(x-2)(x-3)(3x^2-12x+11)}$ και το τριώνυμο έχει τις ρίζες $\displaystyle{2\pm \frac{1}{\sqrt{3}},}$ οπότε η διάταξη των ριζών της παραγώγου είναι $\displaystyle{1,2-\frac{1}{\sqrt{3}},2,2+\frac{1}{\sqrt{3}},3}$ και το πρόσημο είναι εναλλάξ $\displaystyle{+,-}$ ξεκινώντας από το τέρμα δεξία διάστημα $\displaystyle{(3,+\infty).}$

δ) Η $\displaystyle{f''}$ είναι πολυώνυμο 4ου βαθμού και έχει τουλάχιστον τέσσερις ρίζες (αφού το $\displaystyle{f'}$ έχει πέντε ρίζες). Άρα έχει ακριβώς τέσσερις ρίζες.

ε) Βρίσκοντας, κατά τα γνωστά, τα σύνολα τιμών της συνάρτησης στα επι μέρους διαστήματα, βλέπουμε ότι αν $\displaystyle{0<a<\frac{4}{27}}$ η εξίσωση σε κάθε 'ένα διάστημα έχει ακριβώς μια ρίζα, άρα συνολικά ακριβώς έξι.

στ) Προκύπτει άμεσα με ολοκλήρωση της $\displaystyle{f(x)=f(4-x)}$ (που είναι επίσης άμεση) στο $\displaystyle{[1,2].}$

Ωραία Θάνο.

Τα ερωτήματα 2,3,4,5. μπορούν να εξαχθούν χωρίς υπολογισμό της παραγώγου.
Αν δεν γραφεί τέτοια λύση θα την γράψω.

Καλησπέρα Σταύρο.
Μήπως για το β) εννοείς να πάμε με τον ορισμό;

Δηλαδή $\forall x_{1},x_{2}$ με $3\leq x_{1}<x_{2}$ $\Rightarrow$ $0\leq x_{1}-3<x_{2}-3$ $\Rightarrow$ $0\leq (x_{1}-3)^2 <(x_{2}-3)^2$ (1)

Επίσης $\forall x_{1},x_{2}$ με $3\leq x_{1}<x_{2}$ $\Rightarrow$ $1\leq x_{1}-2<x_{2}-2$ $\Rightarrow$ $1\leq (x_{1}-2)^2 <(x_{2}-2)^2$ (2)

Τέλος $\forall x_{1},x_{2}$ με $3\leq x_{1}<x_{2}$ $\Rightarrow$ $2\leq x_{1}-1<x_{2}-1$ $\Rightarrow$ $4\leq (x_{1}-1)^2 <(x_{2}-1)^2$ (3)

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις (1),(2) και (3) έχουμε :
$\forall x_{1},x_{2}$ με $3\leq x_{1}<x_{2}$ $\Rightarrow$ $f(x_{1})<f(x_{2})$ .
Συνεπώς η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[3,+\infty)$ .

Τώρα $\forall x_{1},x_{2}$ με $x_{1}<x_{2} \leq 1$ $\Rightarrow$ $- x_{1} > -x_{2} \geq -1$ $\Rightarrow$ $1- x_{1} > 1-x_{2} \geq 0$ $\Rightarrow$ $(1- x_{1} ) ^2 > (1-x_{2})^2 \geq 0$ (4)

Επίσης $\forall x_{1},x_{2}$ με $x_{1}<x_{2} \leq 1$ $\Rightarrow$ $- x_{1} > -x_{2} \geq -1$ $\Rightarrow$ $2- x_{1} > 2-x_{2} \geq 1$ $\Rightarrow$ $(2- x_{1} ) ^2 > (2-x_{2})^2 \geq 1$ (5)

Και $\forall x_{1},x_{2}$ με $x_{1}<x_{2} \leq 1$ $\Rightarrow$ $- x_{1} > -x_{2} \geq -1$ $\Rightarrow$ $3- x_{1} > 3-x_{2} \geq 2$ $\Rightarrow$ $(3- x_{1} ) ^2 > (3-x_{2})^2 \geq 4$ (6)

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις (1),(2) και (3) έχουμε :
$\forall x_{1},x_{2}$ με $x_{1}<x_{2} \leq 1$ $\Rightarrow$ $f(x_{1})>f(x_{2})$ .
Συνεπώς η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $( - \infty ,1 ]$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Σταμ. Γλάρος · #5

...Συνεχίζοντας για το 3) σκέφτομαι τα εξής :
Έχει αποδειχθεί από το 1) ότι η

παρουσιάζει στα σημεία : 1, 2 , 3

ολικό ελάχιστο το f(1)=f(2)=f(3)=0

.
Γνωρίζουμε ότι η

είναι συνεχής στο [1,2]

.
Επομένως από το θεώρημα Μεγίστης- Ελαχίστης Τιμής συμπεραίνουμε ότι η μη σταθερή

παρουσιάζει μέγιστη τιμή στο [1,2]

.
Έστω ότι υπάρχουν δύο τιμές $p_{1} < p_{2}$ στις οποίες η

παρουσιάζει μέγιστο.
Τότε πάλι από το θεώρημα Μεγίστης- Ελαχίστης Τιμής συμπεραίνουμε ότι η μη σταθερή

παρουσιάζει ελάχιστη τιμή στο $[p_{1} , p_{2}]$ . Άτοπο, διότι μεταξύ των 1 , 2

δεν υπάρχει άλλο ελάχιστο.
Ομοίως αποδεικνύεται ότι και μεταξύ των 2,3

υπάρχει ακριβώς ένα μέγιστο.

Άρα αποδείξαμε ότι η

παρουσιάζει ακριβώς δύο τοπικά μέγιστα στα $x_{1} , x_{2}$ . Το ένα στο διάστημα [1,2]

και το άλλο στο [2,3]

.

4) Εφαρμόζοντας τέσσερεις φορές Θεώρημα Rolle στα διαστήματα : $[1,x_{1}], [x_{1},2] , [2,x_{2}] , [x_{2},3]$ για την συνάρτηση

προκύπτει το ζητούμενο.
Με συγχωρείτε ... ξέχασα!
Το Rolle εφαρμόζεται διότι από το Θεώρημα Fermat ισχύει : $f'(1)=f'(x_{1})=f'(2)=f'(x_{2})=f'(3)= 0 .$
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Γεια σου Σταμάτη.
Αυτά που έκανες εννοούσα.
Μόνο που στο 3) μπορούμε να πάμε πιο εύκολα και ως εξής.
Εχει δυο τοπικά μέγιστα στα [1,2],[2,3]

Επειδή η

έχει το πολύ

ρίζες και σίγουρα
τα σημεία που παίρνει τοπικό μέγιστο και αυτά που παίρνει ολικό ελάχιστο
είναι ρίζες είναι ακριβώς αυτά.
Μένει το 5)

Παπαστεργίου Κώστας · #7

Για κάθε πολυωνυμική συνάρτηση αρτίου βαθμού ισχύουν τα εξής: Τα ελάχιστα είναι κατά ένα περισσότερα των μεγίστων. Επίσης αριστερά του πρώτου ελαχίστου είναι φθίνουσα και δεξιά του τελευταίου αύξουσα. Τα αντίθετα ισχύουν για πολυωνυμικές περιττού βαθμού. Αυτό καλύπτει 2 και 3.
Η δευτέρα παράγωγος έχει 4 ρίζες αφού η πρώτη έχει 5 στα ακρότατα. Δεν μπορεί να έχει περισσότερες λόγω βαθμού.Και το 5 γράφεται
$\left [ (x-1)(x-2)(x-3)-\sqrt{a} \right ]\left [ (x-1)(x-2)(x-3)+\sqrt{a} \right ]=0$
Ο πρώτος παράγοντας έχει πρόσημο -,+,-

στις τιμές $\displaystyle{1,\frac{3}{2}}$ και

αντίστοιχα επομένως έχει δυο ρίζες και μια τρεις.Ο δεύτερος παράγοντας έχει πρόσημο -,+,-

στις τιμές $\displaystyle{0,1}$ και $\displaystyle{\frac{5}{2}}$ αντιστοίχως. Άρα έχουμε άλλες τρεις.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Παπαστεργίου Κώστας έγραψε:Για κάθε πολυωνυμική συνάρτηση αρτίου βαθμού ισχύουν τα εξής: Τα ελάχιστα είναι κατά ένα περισσότερα των μεγίστων. Επίσης αριστερά του πρώτου ελαχίστου είναι φθίνουσα και δεξιά του τελευταίου αύξουσα. Τα αντίθετα ισχύουν για πολυωνυμικές περιττού βαθμού. Αυτό καλύπτει 2 και 3.
.

Το παραπάνω δεν είναι ακριβές.

Για πολυωνυμική συνάρτηση αρτίου βαθμού ισχύει με την προυπόθεση
ότι το όριο στο $\infty$ να είναι $\infty$
που φυσικά εδώ ισχύει.

Για πολυωνυμική συνάρτηση περιττού βαθμού με το όριο στο $\infty$ να είναι $\infty$
τα τοπικά ελάχιστα και τοπικά μέγιστα είναι του ίδιου πλήθους και η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα μετά το
τελευταίο τοπικό ελάχιστο καθώς και πριν από το πρώτο τοπικό μέγιστο.

Παπαστεργίου Κώστας · #9

κ Παπαδόπουλε ευχαριστώ για την παρατήρηση.Εν μέρει έχεις δίκαιο. Εχθές αργά στη βιασύνη μου να προλάβω επικείμενη δική σου απάντηση κάτι παρέλειψα και κάτι έγραψα λάθος. Τα ξαναγράφω σωστά με την επισήμανση ότι δεν επηρεάζουν την απόδειξη που έδωσα.

Για κάθε πολυωνυμική συνάρτηση $x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}$ αρτίου βαθμού ισχύουν τα εξής: Τα ελάχιστα είναι κατά ένα περισσότερα των μεγίστων. Επίσης αριστερά του πρώτου ελαχίστου είναι φθίνουσα και δεξιά του τελευταίου αύξουσα. Αυτό καλύπτει 2 και 3. Για πολυωνυμικές του ιδίου τύπου περιττού βαθμού έχουμε τον ίδιο αριθμό ελαχίστων και μεγίστων.

Η δευτέρα παράγωγος έχει 4 ρίζες αφού η πρώτη έχει 5 στα ακρότατα. Δεν μπορεί να έχει περισσότερες λόγω βαθμού.

Το 5 γράφεται $\left [ (x-1)(x-2)(x-3)-\sqrt{a} \right ]\left [ (x-1)(x-2)(x-3)+\sqrt{a} \right ]=0$
Ο πρώτος παράγοντας έχει πρόσημο -,+,-

στις τιμές $\displaystyle{1,\frac{3}{2}}$ και

αντίστοιχα επομένως έχει δυο ρίζες και μια τρεις.Ο δεύτερος παράγοντας έχει πρόσημο -,+,-

στις τιμές $\displaystyle{0,1}$ και $\displaystyle{\frac{5}{2}}$ αντιστοίχως. Άρα έχουμε άλλες τρεις.

Όσο για τα άπειρα νομίζω ότι πλέον δεν υπάρχει πρόβλημα.
ΠΚ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Παπαστεργίου Κώστας έγραψε:κ Παπαδόπουλε ευχαριστώ για την παρατήρηση.Εν μέρει έχεις δίκαιο. Εχθές αργά στη βιασύνη μου να προλάβω επικείμενη δική σου απάντηση κάτι παρέλειψα και κάτι έγραψα λάθος. Τα ξαναγράφω σωστά με την επισήμανση ότι δεν επηρεάζουν την απόδειξη που έδωσα.

Για κάθε πολυωνυμική συνάρτηση $x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}$ αρτίου βαθμού ισχύουν τα εξής: Τα ελάχιστα είναι κατά ένα περισσότερα των μεγίστων. Επίσης αριστερά του πρώτου ελαχίστου είναι φθίνουσα και δεξιά του τελευταίου αύξουσα. Αυτό καλύπτει 2 και 3. Για πολυωνυμικές του ιδίου τύπου περιττού βαθμού έχουμε τον ίδιο αριθμό ελαχίστων και μεγίστων.
ΠΚ

Νομίζω ότι πράγματι έχω εν μέρει δίκιο.
Για να είχα δίκιο έπρεπε να γράψω ότι είναι λάθος.
Τώρα που γράψατε και το σωστό φαίνεται η διαφορά του από το αρχικό.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

Γράφω την λύση μου για το 5 και να κλείσει.

Παρατηρούμε ότι $f(\frac{3}{2})=f(\frac{5}{2})=\frac{3^{2}}{64}$

Εφαρμόζοντας Θ.Ε.Τ στα διαστήματα

$(-100,1),(1,\frac{3}{2}),(\frac{3}{2},2),(2,\frac{5}{2}),(\frac{5}{2},3),(3,100)$

έχουμε τουλάχιστον

ρίζες.

Εξυπνη

Εξυπνη

Re: Εξυπνη

Re: Εξυπνη

Re: Εξυπνη

Re: Εξυπνη

Re: Εξυπνη

Re: Εξυπνη

Re: Εξυπνη

Re: Εξυπνη

Re: Εξυπνη

Re: Εξυπνη

Μέλη σε σύνδεση