Όλες οι παραβολές είναι όμοιες

KARKAR · #1

: Όλες οι παραβολές είναι όμοιες.png (13.67 KiB) Προβλήθηκε 262 φορές

Η παραβολή : $f(x)=a-\dfrac{x^2}{a} , a>0$ , τέμνει τον άξονα x'x

, στα σημεία A , B

.

Επί της παραβολής κινείται σημείο

.

α) Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : SA^2+SB^2

.

β) Δείξτε ότι οι γωνίες του τριγώνου SAB

, είναι ανεξάρτητες του

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 06, 2024 1:13 pm
Όλες οι παραβολές είναι όμοιες.pngΗ παραβολή : $f(x)=a-\dfrac{x^2}{a} , a>0$ , τέμνει τον άξονα , στα σημεία .

Επί της παραβολής κινείται σημείο .

α) Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : .

β) Δείξτε ότι οι γωνίες του τριγώνου , είναι ανεξάρτητες του .

Από το θεώρημα των διαμέσων έχουμε $\displaystyle{SA^2+SB^2= 2SO^2 + \frac {OB^2}{2}}$ . Επειδή ο τελευταίος προσθετέος είναι σταθερός (ίσος με a^2/2

), το $\displaystyle{SA^2+SB^2}$ είναι ελάχιστο συγχρόνως με το SO^2

. Αυτό συμβαίνει, ως γνωστόν, όταν η

είναι κάθετη στην εφαπτομένη της παραβολής στο

. Παίρνοντας κλίσεις (η μία με παράγωγο) έχουμε την συνθήκη λαθετ'οτητας

$\displaystyle{ \dfrac {-2x}{a}\cdot \dfrac {a- \frac {x^2}{a} }{x} =-1}$ , ισοδύναμα 2x^2=a^2

. Άρα $2SO^2 + \frac {OB^2}{2}= 2x^2+2\left (a-\dfrac{x^2}{a} \right ) ^2 + \dfrac {a^2}{2}$ που για την τιμή του

που βρήκαμε ισούται 2a^2

.

To ότι οι γωνίες του τριγώνου (όταν έχουμε ελάχιστο) είναι ανεξάρτητες του

είναι τώρα άμεσο. Π.χ. η εφαπτομένη της γωνίας

είναι

$\displaystyle{ \dfrac {a- \frac {x^2}{a} }{a-x} = \dfrac {a+x}{a}= \dfrac {a- a\sqrt 2/2} {a}= \dfrac {2-\sqrt 2}{2}}$ (ανεξάρτητο του

). Όμοια για την

και άρα γιά την S=180-A-B

.

Όλες οι παραβολές είναι όμοιες

Όλες οι παραβολές είναι όμοιες

Re: Όλες οι παραβολές είναι όμοιες

Μέλη σε σύνδεση