ΘΕΜΑ 1

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

Maria-Eleni Nikolaou · #2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 11, 2023 6:20 pm
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\underset{\text{y}\to \text{ }+\infty }{\mathop{\lim }}\,\displaystyle\frac{x{{\alpha }^{y}}+({{x}^{2}}-1){{e}^{y}}}{{{\alpha }^{y-1}}+{{e}^{y+3}}}$ , όπου α θετικός πραγματικός αριθμός με $\alpha \ne e$ .

α) Να βρεθεί ο α ώστε η συνάρτηση $\displaystyle g(x)={{e}^{3}}\cdot ln\alpha \cdot f(x)$ να παρουσιάζει ελάχιστο.

β) Για οποιαδήποτε από τις τιμές του α που βρήκατε στο (α) ερώτημα, αποδείξτε ότι

για την παραπάνω συνάρτηση ισχύει ότι το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται

από την ${{C}_{g}}$ και τον άξονα δεν είναι μεγαλύτερο από $\displaystyle\frac{4}{3}$ τ.μ.

$\bullet$ Έστω $a\in(0,e)$ , τότε:

$\displaystyle f(x)=\lim_{y\to +\infty} \dfrac{e^y[x\cdot {(\frac{a}{e})}^y +x^2-1]}{e^{y-1}[ {(\frac{a}{e})}^{y-1} +e^4]} = \dfrac{e(x^2-1)}{e^4} = \dfrac{x^2-1}{e^3}$

Οπότε, $g'(x)=\ln a \cdot 2x$ . Για να παρουσιάζει η

ελάχιστο, πρέπει $\ln a\geq 0 \Leftrightarrow a\in[1,e)$

Τότε, $\displaystyle E= -\int_{-1}^{1}g(x)dx=\int_{-1}^{1}\ln a(1-x^2)dx=\ln a\left [ x-\dfrac{x^3}{3} \right ]_{-1}^{1}=\dfrac{4}{3}\ln a<\frac{4}{3}$

$\bullet$ Έστω $a\in(e,+\infty)$ , τότε:

$\displaystyle f(x) = \lim_{y\to +\infty} \dfrac{a^y[x+(x^2-1)\cdot {(\frac{e}{a})}^y]}{a^{y-1}[1+e^4 \cdot{(\frac{e}{a})}^{y-1}]}=ax$

'Ομως, $g'(x)=e^3\ln a \cdot a >e^4$ , οπότε

γνησίως αύξουσα.

ΘΕΜΑ 1

ΘΕΜΑ 1

Re: ΘΕΜΑ 1

Μέλη σε σύνδεση