Παραβολή και κύκλος

KARKAR · #1

: Παραβολή και κύκλος.png (17.39 KiB) Προβλήθηκε 1166 φορές

$\bigstar$ Η παραβολή του σχήματος εφάπτεται του κύκλου στον βόρειο πόλο του .

Υπολογίστε τι ποσοστό του πρασίνου καταλαμβάνει ο μπλε κυκλικός δίσκος .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 14, 2022 9:36 am
Παραβολή και κύκλος.png $\bigstar$ Η παραβολή του σχήματος εφάπτεται του κύκλου στον βόρειο πόλο του .

Υπολογίστε τι ποσοστό του πρασίνου καταλαμβάνει ο μπλε κυκλικός δίσκος .

O κύκλος είναι ο x^2+(y-R)^2=R^2

και η παραβολή (συμμετρική και κλίνουσα προς τα κάτω) είναι της μορφής y=-ax^2+b

. Αφού η κορυφή είναι το (0,2R)

, παίρνει την μορφή y=-ax^2+2R

.

Από τα συμφραζόμενα και το σχήμα του θεματοθέτη, πρέπει η παραβολή να μην ξανατέμνει τον κύκλο. Να μην έχουμε δηλαδή την εκδοχή που δείχνει το σχήμα παρακάτω, στο οποίο η παραβολή και ο κύκλος εφάπτονται μεν, αλλά έχουμε ασάφεια στο πρόβλημα. Συνεχίζω με αυτή την προσθήκη.

Λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων θα καταλήξουμε στην εξίσωση x^2(a^2x^2-2aR+1)=0

. Μία λύση είναι η x=0

που την ξέρουμε (η κορυφή). Αν δεν θέλουμε άλλη, πρέπει -2aR+1=0

, δηλαδή $a= \dfrac {1}{2R}$ . Η εξίσωση τώρα της παραβολής είναι $y=-\dfrac {x^2} {2R}+2R$ .

Τέμνει τον άξονα των

στα $\pm 2R$ άρα το εμβαδόν από κάτω της είναι $\displaystyle{\int _{-2R}^{2R} \left ( -\dfrac {x^2} {2R}+2R\right ) dx=\dfrac {16R^2}{3} }$ .

Άρα το κλάσμα του μπλε προς το πράσινο χωρίο είναι $\displaystyle{ \dfrac {\pi R^2} {\dfrac {16R^2}{3} -\pi R^2}= \dfrac {3\pi}{16-3\pi} }$ , και λοιπά.

KARKAR · #3

Τέλεια ! Για την λιτότητα της διατύπωσης γράφοντας "πράσινο εμβαδόν " , εννοούσα αυτό

που περικλείεται μεταξύ της παραβολής και του οριζόντιου άξονα , άρα : $\lambda= \dfrac{3\pi}{16}$ .

Επειδή : $\pi<3.2$ , έπεται ότι : $\lambda <0.6=60\%$ ( , ακριβέστερη τιμή : $\lambda\simeq 58.9\%$ ) .

Παραβολή και κύκλος

Παραβολή και κύκλος

Re: Παραβολή και κύκλος

Re: Παραβολή και κύκλος

Μέλη σε σύνδεση