σε όλη την ύλη

pastavr · #1

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left[ { - \alpha ,\alpha } \right] \to \mathbb{R}}$ δύο φορές παραγωγίσιμη με $\displaystyle{f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 0}$ και για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ { - \alpha ,\alpha } \right]}$ ισχύει $\displaystyle{f''\left( x \right) > 0}$ και $\displaystyle{{e^{f'\left( x \right)}} - \left| {f\left( \alpha \right) - 1} \right|f'\left( x \right) \geqslant 1}$
Α. Να αποδείξετε ότι :
α. $\displaystyle{f\left( \alpha \right) = 2}$
β. Για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {0,\alpha } \right]}$ ισχύει $\displaystyle{f\left( x \right) \leqslant 2 + \left( {x - \alpha } \right){f^/}\left( x \right)}$

Β. α. Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {0,\alpha } \right]}$ ισχύει $\displaystyle{f\left( x \right) \geqslant 0}$
β. Αν Ε το εμβαδόν που σχηματίζεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ , τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ και τις ευθείες $\displaystyle{x = 0,x = \alpha }$ , τότε να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\int_0^\alpha {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}dx} \leqslant \frac{4}{3}E}$

#2

pastavr έγραψε:Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left[ { - \alpha ,\alpha } \right] \to \mathbb{R}}$ δύο φορές παραγωγίσιμη με $\displaystyle{f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 0}$ και για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ { - \alpha ,\alpha } \right]}$ ισχύει $\displaystyle{f''\left( x \right) > 0}$ και $\displaystyle{{e^{f'\left( x \right)}} - \left| {f\left( \alpha \right) - 1} \right|f'\left( x \right) \geqslant 1}$
Α. Να αποδείξετε ότι :
α. $\displaystyle{f\left( \alpha \right) = 2}$
β. Για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {0,\alpha } \right]}$ ισχύει $\displaystyle{f\left( x \right) \leqslant 2 + \left( {x - \alpha } \right){f^/}\left( x \right)}$

Β. α. Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {0,\alpha } \right]}$ ισχύει $\displaystyle{f\left( x \right) \geqslant 0}$
β. Αν Ε το εμβαδόν που σχηματίζεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ , τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ και τις ευθείες $\displaystyle{x = 0,x = \alpha }$ , τότε να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\int_0^\alpha {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}dx} \leqslant \frac{4}{3}E}$

...για τα τρία πρωτα ερωτήματα...

Α) α) Είναι ${{e}^{{f}'\left( x \right)}}-\left| f\left( \alpha \right)-1 \right|{f}'\left( x \right)-1\ge 0,\,\,\,\,x\in [-\alpha ,\,\,\alpha ]$

και θεωρώντας την $g(x)={{e}^{{f}'\left( x \right)}}-\left| f\left( \alpha \right)-1 \right|{f}'\left( x \right)-1,\,\,\,\,x\in [-\alpha ,\,\,\alpha ]$

ισχύει ότι $g(0)={{e}^{{f}'\left( 0 \right)}}-\left| f\left( \alpha \right)-1 \right|{f}'\left( 0 \right)-1=1-1=0$ οπότε

$g(x)\ge g(0),\,\,\,\,x\in [-\alpha ,\,\,\alpha ]$ αρα στο $x=0\in (-\alpha ,\,\,\,\alpha )$ η

παρουσιάζει ακρότατο και επειδή είναι παραγωγίσιμη με ${g}'(x)={{e}^{{f}'\left( x \right)}}{f}''(x)-\left| f\left( \alpha \right)-1 \right|{f}''\left( x \right)$

λόγω Fermat ${g}'(0)=0\Leftrightarrow {{e}^{{f}'\left( 0 \right)}}{f}''(0)-\left| f\left( \alpha \right)-1 \right|{f}''\left( 0 \right)=0\Leftrightarrow {f}''(0)\left( 1-|f(\alpha )-1| \right)=0$

και αφού $\displaystyle{f''\left( x \right) > 0}$ θα είναι $1-|f(\alpha )-1|=0\Leftrightarrow f(\alpha )=2,\,\,\,\,\,\,\,f(\alpha )=0$ .

Αν f(a)=0

στο διάστημα $[0,\,\,\,\alpha ]$ σύμφωνα με το Rolle υπάρχει $\xi \in (0,\,\,\alpha )$ ώστε ${f}'(\xi )=0$ άρα η {f}'(x)=0

έχει δύο διαφορετικές ρίζες τις $\xi ,\,\,0$ που είναι άτοπο αφού {f}'

γνησία αύξουσα λόγο του $\displaystyle{f''\left( x \right) > 0}$ .

β) Θέλουμε $\displaystyle{f\left( x \right) \leqslant 2 + \left( {x - \alpha } \right){f^/}\left( x \right)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {0,\alpha } \right]}$ ή

ισοδύναμα $f\left( x \right)-f(\alpha )\le \left( x-\alpha \right){{f}^{/}}\left( x \right)$ με το ίσο να ισχύει για x=a

και για

ισοδύναμα

$\frac{f\left( x \right)-f(\alpha )}{x-\alpha }\ge {{f}^{/}}\left( x \right)$ και επειδή από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ${{x}_{0}}\in (x,\,\,\alpha )$ ώστε

${f}'({{x}_{0}})=\frac{f\left( x \right)-f(\alpha )}{x-\alpha }$ ισοδύναμα θέλουμε ${f}'({{x}_{0}})\ge {{f}^{/}}\left( x \right)$

που ισχύει λόγω κυρτότητας της

(…είναι κυρτή…) και ${{x}_{0}}>x$

Β) α) Η εφαπτόμενη στο σημείο $O(0,\,f(0))$ είναι η $y-0={f}'(0)(x-0)\Leftrightarrow y=0$ και λόγω κυρτότητας της

θα ισχύει ότι $f(x)\ge y=0,\,\,\,x\in [0,\,\,\alpha ]$

...αν δεν

θα κανω και το αλλο αλλιώς αν δεν βρεθεί καποιος στο δρομο του...αυριο

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

pastavr · #3

Βασίλη σε ευχαριστώ για την ενασχόλησή σου με την άσκηση . Το θέμα είναι από διαγώνισμα προσομοίωσης του συμβούλου Πρόδρομου Ελευθερίου ( αν δεν κάνω λάθος στο όνομα ) του βορείου Αιγαίου το 2010 . Για το τελευταίο ερώτημα που δεν έχεις δώσει απάντηση και εγώ προβληματίζομαι

#4

Αν πολλαπλασιάσουμε τη σχέση:

pastavr έγραψε: β. Για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {0,\alpha } \right]}$ ισχύει $\displaystyle{f\left( x \right) \leqslant 2 + \left( {x - \alpha } \right){f^/}\left( x \right)}$

με το μη αρνητικό f(x)

όλο και κάτι γίνεται. Αν ολοκληρώσουμε λαμβάνουμε:
(Μπορούμε σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης να το πράξουμε αφού η πρώτη παράγωγος είναι συνεχής συνάρτηση)

$\displaystyle{\int\limits_0^a {{f^2}(x)dx} \le 2E + \int\limits_0^a {\frac{{\left( {x - a} \right)}}{2}} \left( {{f^2}(x)} \right)'dx = 2E + \left[ {\frac{{x - a}}{2}{f^2}(x)} \right]_0^a - \frac{1}{2}\int\limits_0^a {{f^2}(x)dx} \Rightarrow }$ $\displaystyle{\frac{3}{2} \cdot \int\limits_0^a {{f^2}(x)dx} \le 2E + \left[ {\frac{{x - a}}{2}{f^2}(x)} \right]_0^a = 2E \Rightarrow \int\limits_0^a {{f^2}(x)dx} \le \frac{4}{3}E}$

Υ.Γ: Τονίζω πως δε γνωρίζω την επίσημη λύση. Αυτό σκέφτηκα πριν απο λίγο και το έγραψα. Αν γνώριζα ότι ταυτίζομαι με την επίσημη λύση τότε απλά θα παρέπεμπα εκεί λεγοντάς το.

Λάμπρος Μπαλός · #5

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι

$\int_{0}^{a}f^{2}(x)dx<2a$ ;

ή και καλύτερα $<\frac { 4}{3}a$ ;

pastavr · #6

Χρήστο ευχαριστώ πολύ

Λάμπρος Μπαλός · #7

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Μπορούμε να αποδείξουμε ότι

$\int_{0}^{a}f^{2}(x)dx<2a$ ;

ή και καλύτερα $<\frac { 4}{3}a$ ;

Ας μην το αφήσουμε αναπάντητο.

Η κυρτή στο $\left[0,a \right]$ συνάρτηση

έχει

και

Αρχικά με ένα Θ.Μ.Τ για την

στο $\left[0,a \right]$ βρίσκουμε ότι υπάρχει $\xi \in \left(0,a \right)$ τέτοιο, ώστε $f'\left(\xi \right)=\frac{f(a)-f(0)}{a-0}=\frac{2}{a}$

το οποίο βεβαίως είναι μοναδικό λόγω του ότι η

είναι γνησίως αύξουσα.

Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση $g(x)=f(x)-\frac{2}{a}x$ στο $\left[0,a \right]$

Μελετώντας τη μονοτονία της έχουμε $g'(x)=f'(x)-\frac{2}{a}$ . Ο μηδενισμός της συμβαίνει στο μοναδικό $\xi$ του ΘΜΤ για την

Επίσης καθώς η

είναι γνησίως αύξουσα και η

είναι προφανώς γνησίως αύξουσα, οπότε :

Για κάθε $x<\xi$ είναι g'(x)<0

άρα η συνεχής

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\left[0,\xi \right]$
Για κάθε $x>\xi$ είναι g'(x)>0

άρα η συνεχής

είναι γνησίως αύξουσα στο $\left[\xi ,a \right]$

Καθώς g(0)=g(a)=0

εύκολα προκύπτει ότι $g(x)\leq 0$ στο $\left[0,a \right]$ με τον μηδενισμό της

να συμβαίνει μόνο στα

και

.

Επομένως $g(x)\leq 0\Leftrightarrow f(x)\leq \frac{2}{a}x\Rightarrow \int_{0}^{a}{f(x)dx}<\int_{0}^{a}{\frac{2}{a}xdx}=a$

Άρα λόγω του προηγούμενου ερωτήματος..

$\int_{0}^{a}{f^{2}(x)dx}<\frac{4}{3}a$

Σημείωση.. Φυσικά πρόκειται για τη σχέση κυρτής με τη χορδή της. Ένα σχήμα θα ήταν ό,τι πρέπει αλλά δεν γνωρίζω να το περνάω στο mathematica.
Αν θέλει κάποιος ας το βάλει.

σε όλη την ύλη

σε όλη την ύλη

Re: σε όλη την ύλη

Re: σε όλη την ύλη

Re: σε όλη την ύλη

Re: σε όλη την ύλη

Re: σε όλη την ύλη

Re: σε όλη την ύλη

Μέλη σε σύνδεση