Γενικό θέμα , αλλά με δυσκολίες !

#1

Καμιά φορά χωρίς τα υποερωτήματα,τα πράγματα γίνονται δύσκολα !!!

Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $f : (0,+\infty) \longrightarrow \mathbb R$ με f(1)=0

έχει την ιδιότητα :

$\displaystyle xf '(x)=\frac {x+1}{e^{f(x)}+1}, \forall x>0$ .

α) Να αποδείξετε ότι $f(x)=\ln x, x>0$

β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle I=\int _{\frac {1}{a}}^a \frac {lnx}{x^2+1}dx, a>0$

γ) Αν $0<a<b, a\neq b$ και $\displaystyle \int_a^b \frac {lnx}{x^2+1}dx=0$ , να αποδειχθεί ότι a<1<b

και

Μπάμπης

hsiodos · #2

Μπάμπη καλό μεσημέρι , μια αντιμετώπιση

α) Για κάθε x > 0 έχουμε: $\displaystyle{ xf{'} (x) = \frac{{x + 1}}{{e^{f(x)} + 1}} \Leftrightarrow e^{f(x)} f{'} (x) + f{'} (x) = 1 + \frac{1}{x} \Leftrightarrow \left( {e^{f(x)} + f(x)} \right){'} = (x + \ln x){'} }$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow e^{f(x)} + f(x) = x + \ln x + c\mathop \Leftrightarrow \limits^{f(1) = 0} \,\,\,e^{f(x)} + f(x) = x + \ln x\,\,(1)}$

Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = e^x + x}$ που είναι ορισμένη στο R και 1-1 (εύκολο)

Για κάθε x > 0 έχουμε: $\displaystyle{(1) \Leftrightarrow g(f(x)) = g(\ln x) \Leftrightarrow f(x) = \ln x}$

β) Θέτουμε $\displaystyle{ x = \frac{1}{u}\,\,,\,\,u > 0\,\,\,\,\,\tau o\tau \varepsilon \,\,\,x^2 + 1 = \frac{{u^2 + 1}}{{u^2 }}\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,dx = - \frac{1}{{u^2 }}du\,\,\,,\,\,\,\,\,u_1 = a\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,u_2 = \frac{1}{a}}$

$\displaystyle{ I = \int_a^{{\textstyle{1 \over a}}} { - \ln u\frac{{u^2 }}{{u^2 + 1}}\left( { - \frac{1}{{u^2 }}} \right)} du = - \int_{{\textstyle{1 \over a}}}^a {\frac{{\ln x}}{{x^2 + 1}}dx = - I} \, \Rightarrow I = 0}$

γ) $\displaystyle{ {\rm A}\nu \,\,0 < \alpha < \beta \le 1\,\,\,\tau o\tau \varepsilon \,\,\,\int_\alpha ^\beta {\frac{{\ln x}}{{x^2 + 1}}dx\,\,\, < 0\,\,\,\alpha \phi o\upsilon \,\,} \frac{{\ln x}}{{x^2 + 1}} \le 0\,\,\,\gamma \iota \alpha \,\,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,x \in \left[ {a,\beta } \right]\,}$ (το ίσον ισχύει μόνο αν x = β =1)

$\displaystyle{ {\rm A}\nu \,\,\,1 \le \alpha < \beta \,\,\,\tau o\tau \varepsilon \,\,\,\int_\alpha ^\beta {\frac{{\ln x}}{{x^2 + 1}}dx\, > 0\,\,\,\alpha \phi o\upsilon \,\,} \frac{{\ln x}}{{x^2 + 1}} \ge 0\,\,\,\gamma \iota \alpha \,\,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,x \in \left[ {a,\beta } \right]}$ (το ίσον ισχύει μόνο αν x = α =1)

Επομένως 0 < α < 1 < β

Τώρα $\displaystyle{ \int_{{\textstyle{1 \over a}}}^a {\frac{{\ln x}}{{x^2 + 1}}dx} + \int_\alpha ^\beta {\frac{{\ln x}}{{x^2 + 1}}dx = 0} \, \Rightarrow \int_{{\textstyle{1 \over a}}}^\beta {\frac{{\ln x}}{{x^2 + 1}}dx} = 0 \Rightarrow \beta = \frac{1}{\alpha } \Rightarrow \alpha \beta = 1}$

αφού αν $\displaystyle{ \beta \ne \frac{1}{\alpha }\,\,\,\tau o\tau \varepsilon \,\,\,\int_{{\textstyle{1 \over a}}}^\beta {\frac{{\ln x}}{{x^2 + 1}}dx} > 0\,\,\,\,\,\eta \,\,\,\int_{{\textstyle{1 \over a}}}^\beta {\frac{{\ln x}}{{x^2 + 1}}dx} < 0\,\,\,\,\,\gamma \iota \alpha \tau \iota \,\,\,\,\,\frac{1}{\alpha } > 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\beta > 1}$

Γιώργος

#3

Υπήρχε και --->εδώ με μία πολύ ωραία
επεξήγηση του Μιχάλη.

#4

chris_gatos έγραψε:Υπήρχε και --->εδώ με μία πολύ ωραία
επεξήγηση του Μιχάλη.

Χρήστο, ευχαριστώ !
Είχα διαβάσει και γω όλη τη σχετική αλληλογραφία και δε μπορούσα να βρω το σύνδεσμο.
Αλλά και παλιότερα το είχαμε ξανακουβεντιάσει, αλλά πάλι δεν το βρίσκω, αν και πριν από έναπερίπου μήνα έπεσα πάνω του κατά τύχη.

Αν τύχει καμιά φορά και το βρεις, στείλε τον.

Μπάμπης

Γενικό θέμα , αλλά με δυσκολίες !

Γενικό θέμα , αλλά με δυσκολίες !

Re: Γενικό θέμα , αλλά με δυσκολίες !

Re: Γενικό θέμα , αλλά με δυσκολίες !

Re: Γενικό θέμα , αλλά με δυσκολίες !

Μέλη σε σύνδεση