Σύγκριση μικτόγραμμων

KARKAR · #1

: Σύγκριση μικτόγραμμων.png (44.56 KiB) Προβλήθηκε 1633 φορές

Να συγκριθούν τα εμβαδά

και

των μικτόγραμμων τριγώνων του σχήματος .

( Οι διακεκομμένες γραμμές είναι παράλληλες προς τους άξονες )

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 11, 2024 7:26 pm
Σύγκριση μικτόγραμμων.pngΝα συγκριθούν τα εμβαδά και των μικτόγραμμων τριγώνων του σχήματος .

( Οι διακεκομμένες γραμμές είναι παράλληλες προς τους άξονες )

$\displaystyle {e^{\sqrt x }} = 2 \Leftrightarrow x = {\ln ^2}2,$ άρα η τετμημένη του

είναι $\displaystyle {\ln ^2}2.$

: Σύγκριση μικτόγραμμων.png (6.99 KiB) Προβλήθηκε 1588 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} A = (OETZ) - \int_0^{{{\ln }^2}2} {{e^{\sqrt x }}dx} = 2{\ln ^2}2 - \int_0^{{{\ln }^2}2} {{e^{\sqrt x }}dx} \hfill \\ B = \int_{{{\ln }^2}2}^1 {{e^{\sqrt x }}dx} - (EKLT) = \int_{{{\ln }^2}2}^1 {{e^{\sqrt x }}dx} - 2(1 - {\ln ^2}2) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Μία παράγουσα της

είναι η $\displaystyle {2\left( {\sqrt x - 1} \right){e^{\sqrt x }}}(*)$ Άρα:

$\displaystyle \int_0^{{{\ln }^2}2} {{e^{\sqrt x }}dx} = \left[ {2\left( {\sqrt x - 1} \right){e^{\sqrt x }}} \right]_0^{{{\ln }^2}2} = 4\ln 2 - 2$ και ομοίως $\displaystyle \int_{{{\ln }^2}2}^1 {{e^{\sqrt x }}dx} = 4 - 4\ln 2$

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι $\boxed{A = B = 2{(\ln 2 - 1)^2}}$

(*)

Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται με την αντικατάσταση $\sqrt x=u$ και στη συνέχεια παραγοντική ολοκλήρωση.

KARKAR · #3

Στο σχήμα του Γιώργου το ορθογώνιο ZLKO

, έχει εμβαδόν

. Αλλά και :

$\displaystyle \int_0^{1} {{e^{\sqrt x }}dx} = \left[ {2\left( {\sqrt x - 1} \right){e^{\sqrt x }}} \right]_0^{1} = 2$ . Επομένως : A= B

.

Βέβαια , με την λύση του Γιώργου έχουμε και την τιμή του εμβαδού ...

Σύγκριση μικτόγραμμων

Σύγκριση μικτόγραμμων

Re: Σύγκριση μικτόγραμμων

Re: Σύγκριση μικτόγραμμων

Μέλη σε σύνδεση