Πρωινή (διορθωμένη)

erxmer · #1

Δίνεται συνάρτηση $f: R \to R$ ώστε f'(x)-2f(x)=e^x

με

.

1) Nα βρεθεί ο τύπος της

2) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=x

3) Nα βρείτε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση $\displaystyle{C_f}$ της συνάρτησης

και των ευθειών y=x, x=e

.

4) Δείξτε οτι $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{761}{100}}{\frac{f(x)}{e^x}dx}<2016}$ και $\displaystyle{\lim_{x \to 0^{-}}\frac{f(x)}{xsinx}=-\infty}$

Aλλαγή δεδομένων, το πρωινό ξύπνημα φταίει...

MarKo · #2

erxmer έγραψε:Δίνεται συνάρτηση $f: R \to R$ ώστε με .

1) Nα βρεθεί ο τύπος της

Για το 1) Από την δοσμένη σχέση έχουμε
$\displaystyle{\begin{array}{l} f'\left( x \right){e^{ - 2x}} - 2f\left( x \right){e^{ - 2x}} = {e^{ - x}} \Rightarrow \\\\ {\left( {f\left( x \right){e^{ - 2x}}} \right)^\prime } = {\left( { - {e^{ - x}}} \right)^\prime } \Rightarrow \\\\ f\left( x \right){e^{ - 2x}} = - {e^{ - x}} + c \\ \end{array}}$

όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός και για $\displaystyle{x = 1}$ η τελευταία σχέση δίνει $\displaystyle{c = 1}$ .
Άρα
$\displaystyle{f\left( x \right){e^{ - 2x}} = - {e^{ - x}} + 1 \Rightarrow }$

$\displaystyle{f\left( x \right) = {e^{2x}} - {e^x}}$ για κάθε πραγματικό x.

Η τελευταία επαληθεύει τις δοσμένες συνθήκες.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Η συνάρτηση ΔΕΝ αντιστρέφεται.

apotin · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Η συνάρτηση ΔΕΝ αντιστρέφεται.

όντως

: anti.png (2.6 KiB) Προβλήθηκε 1301 φορές

erxmer · #5

επαναφορά

#6

erxmer έγραψε:Δίνεται συνάρτηση $f: R \to R$ ώστε με .

1) Nα βρεθεί ο τύπος της

2) Να λυθεί η εξίσωση

Aλλαγή δεδομένων, το πρωινό ξύπνημα φταίει...

...μιά προσπάθεια για το (2)....

2) Μέτα την εύρεση του τύπου της

από το Μάρκο με $f(x)={{e}^{2x}}-{{e}^{x}},\,\,x\in R$ έχουμε ότι

${f}'(x)=2{{e}^{2x}}-{{e}^{x}}$ με {f}'(0)=2-1=1

άρα εφαπτομένη στο σημείο $O(0,\,\,0)$ αφού f(0)=0

είναι η ευθεία y=x

Ακόμη είναι ${f}''(x)=4{{e}^{2x}}-{{e}^{x}}$ με ${f}''(x)=0\Leftrightarrow 4{{e}^{2x}}={{e}^{x}}\Leftrightarrow x=-2\ln 2$ και

${f}''(x)>0\Leftrightarrow 4{{e}^{2x}}>{{e}^{x}}\Leftrightarrow x>-2\ln 2$ και ${f}''(x)<0\Leftrightarrow 4{{e}^{2x}}<{{e}^{x}}\Leftrightarrow x<-2\ln 2$

άρα η

είναι κυρτή στο $[-\ln 4,\,\,+\infty )$ και κοίλη στο $(-\infty ,\,\,-\ln 4]$ επομένως ισχύει λόγω κυρτότητας ότι

$f(x)\ge x,\,\,x\in \,[-\ln 4,\,\,+\infty )$ με το ίσο να ισχύει μόνο στο σημείο επαφής, άρα $f(x)>x,\,\,x\in \,[-\ln 4,\,0,)\cup (0,\,+\infty )$ (1)

Επίσης η ${f}'(x)=2{{e}^{2x}}-{{e}^{x}}=0\Leftrightarrow 2{{e}^{2x}}={{e}^{x}}\Leftrightarrow x=-\ln 2$ και

${f}'(x)=2{{e}^{2x}}-{{e}^{x}}<0\Leftrightarrow 2{{e}^{2x}}<{{e}^{x}}\Leftrightarrow x<-\ln 2$ και

${f}'(x)=2{{e}^{2x}}-{{e}^{x}}>0\Leftrightarrow 2{{e}^{2x}}>{{e}^{x}}\Leftrightarrow x>-\ln 2$ οπότε η

είναι γνήσια φθίνουσα στο

$(-\infty ,\,\,-\ln 2]$ και γνήσια αύξουσα το $[-\ln 2,\,\,+\infty )$ οπότε για $x\le -\ln 4<-ln2$ ισχύει ότι $f(x)\ge f(-\ln 4)$ και λόγω (1)

$f(x)\ge f(-\ln 4)>-ln4\ge x$ για $x\in (-\infty ,\,\,-\ln 4]$ (2) έτσι τελικά από (1),(2) ισχύει $f(x)>x,\,\,x\in \,(-\infty ,\,0,)\cup (0,\,+\infty )$

άρα η εξίσωση f(x)=x

έχει μοναδική ρίζα την x=0

...για το (3) κάτι πάει στραβά γιατί η η ${{f}^2}}(x)$ και η {x}

έχουν δύο κοινά σημεία το x=0

και ένα στο διάστημα (0,1)

που δεν υπολογίζεται...περιμένω το δημιουργό...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#7

erxmer έγραψε:
2) Να λυθεί η εξίσωση

Καλούμαστε να λύσουμε την εξίσωση $\displaystyle{e^{2x}-e^x=x.}$

Έστω $\displaystyle{x}$ ρίζα της εξίσωσης. Από τη γνωστή ανισότητα $\displaystyle{e^x\geq x+1}$ λαμβάνουμε

$\displaystyle{e^{2x}-e^x\leq e^x-1\implies (e^x-1)^2\leq 0\implies e^x=1\implies x=0.}$

Το $\displaystyle{0}$ επαληθεύει την εξίσωση, άρα είναι η μοναδική της ρίζα.

Πρωινή (διορθωμένη)

Πρωινή (διορθωμένη)

Re: Πρωινή

Re: Πρωινή

Re: Πρωινή

Re: Πρωινή (διορθωμένη)

Re: Πρωινή (διορθωμένη)

Re: Πρωινή (διορθωμένη)

Μέλη σε σύνδεση