γενικό θέμα

dennys · #1

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0,1]\rightarrow \mathbb R, f{'} \searrow,f{'}(1)=1$

και η εφαπτομένη στο x_0=0

, είναι η

1)Nα βρείτε τα ακρότατα της στο [0,1]

2) Nα αποδείξετετ ότι 2<f(1)<3

3) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση (2-3x)f(x)=f(1-x)-4x

,έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0,1)

4) Nα αποδείξετε ότι $\int_{0}^{1}f(x)dx>3/2$

5)Να αποδείξετε ότι $\int_{0}^{f(1)-2}f(x)dx<\cfrac{2(f(1)-1)}{f(1)-2}$

διονύσης

BAGGP93 · #2

Καλησπέρα.

1)Η εξίσωση της εφαπτομένης της $\displaystyle{f}$ στο σημείο $\displaystyle{(0,f(0))}$ του γραφήματος της, έχει αναλυτική εξίσωση την,

$\displaystyle{y-f(0)=f^\prime(0)x\Leftrightarrow f^\prime(0)x-y+f(0)=0}$

Οπότε, συγκρίνοντας με την $\displaystyle{2x-y+1=0}$ βρίσκουμε $\displaystyle{f^\prime(0)=2}$ και $\displaystyle{f(0)=1}$

Για κάθε $\displaystyle{x\in\left[0,1\right]}$ είναι,

$\displaystyle{0\leq x\leq 1\Rightarrow f^\prime(1)\leq f^\prime(x)\leq f^\prime(0)\Rightarrow 1\leq f^\prime(x)\leq 2}$

Άρα, η $\displaystyle{f}$ ως γνησίως αύξουσα, θα παρουσιάζει ακρότατα μόνο στα σημεία $\displaystle{x=0}$ και $\displaystyle{x=1}$

και μάλιστα ελάχιστο στο $\displaystle{x=0}$ το $\displaystyle{f(0)=1}$ και μέγιστο στο $\displaystyle{x=1}$ το $\displaystyle{f(1)}$

2)Η $\displaystyle{f}$ ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα $\displaystyle{\left[0,1\right]}$ και άρα

υπάρχει $\displaystyle{y\in\left(0,1\right)}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f^\prime(y)=f(1)-f(0)=f(1)-1}$ .

$\displaystyle{0<y<1\Rightarrow f^\prime(1)<f^\prime(y)<f^\prime(0)\Rightarrow 1<f(1)-1<2\Rightarrow 2<f(1)<3}$

3)Η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=(2-3x)f(x)-f(1-x)+4x,x\in\left[0,1\right]}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{\left[0,1\right]}$

ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων στο διάστημα αυτό και ικανοποιεί την συνθήκη $\displaystyle{g(0)g(1)<0}$ αφού

$\displaystyle{g(0)=2f(0)-f(1)=2-f(1)<0}$ και $\displaystyle{g(1)=-f(1)-f(0)+4=-f(1)+3>0}$

Από το Θεώρημα του BOLZANO έχουμε το ζητούμενο.

bboybast · #3

Η ανισότητα στο 4) μήπως είναι ανάποδα?

Ιστοσελίδα · #4

απέσυρα την λύση λόγω "αλσχάιμερ", επομένως επαναφέρω το ερώτημα του τέθηκε παραπάνω μήπως η ανίσωση είναι ανάποδα;

SPIROS FOUSEKIS · #5

Στο 4 ερώτημα της τελευταίας άσκησης σε όλη την ύλη υπάρχει λάθος διότι αν f ΄

γνησίως φθίνουσα η συνάρτηση δεν είναι κυρτή .

Σακης · #6

4)
H

είναι κοίλη στο [0,1]

. Άρα βρίσκεται πάνω από την χορδή που ορίζουν τα (0,1) , (1,f(1))

.
Η εξίσωση της χορδής αυτής είναι y=(f(1)-1)x+1

. Η απόδειξη γίνεται με θ.μ.τ. στα [0,x],[x,1]

.

Το εμβαδόν του τραπεζίου που ορίζει η χορδή αυτή είναι $\displaystyle{\frac{f(1)+1}{2}>\frac{3}{2}}$ .

Άρα $\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)dx>\frac{3}{2}}$ .

#7

...Καλησπέρα στην παρέα...γιά να μη μείνει χωρίς απάντηση το (5) δίνω μιά γεωμετρική αντιμετώπιση...αλλά είμαι σίγουρος
ότι πρέπει να γίνεται και ποιό απλά...

: geniko thema.jpg (18.32 KiB) Προβλήθηκε 1120 φορές

5) Η εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της

στα σημεία $A(1,\,\,f(1)),\,\,\,B(0,\,\,1)$ είναι αντίστοιχα y=x+f(1)-1

και

που τέμνονται στο σημείο $\Delta (f(1)-2,\,\,\,2f(1)-3))$ .

Τώρα επειδή η

είναι κοίλη στο $[0,\,\,1]$ η εφαπτομένη της σε κάθε σημείο θα είναι πάνω από τα σημεία της γραφικής της

παράστασης ,επομένως και εδώ λόγω αυτού τα σημεία της $\Delta B:\,\,y=2x+1$ θα είναι πάνω από τα σημεία της ${{C}_{f}}$ στο $[0,\,\,1]$

άρα θα ισχύει ότι το εμβαδό του τραπεζίου $OB\Delta E$ θα είναι μεγαλύτερο από το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την

${{C}_{f}}$ τον ${x}'x,\,\,\,{y}'y,\,\,\,x=1$ επομένως θα ισχύει ότι $\int\limits_{0}^{f(1)-2}{f(x)dx}<(OB\Delta E)=\frac{OB+\Delta E}{2}OE=\frac{1+2f(1)-3}{2}(f(1)-2)$

επομένως θα ισχύει ότι $\int\limits_{0}^{f(1)-2}{f(x)dx}<\frac{2f(1)-2}{2}(f(1)-2)=(f(1)-1)(f(1)-2)$ οπότε αρκεί να δείξουμε ότι

$(f(1)-1)(f(1)-2)<\frac{2(f(1)-1)}{f(1)-2}$ και επειδή f(1)-1>0

αρκεί $f(1)-2<\frac{2}{f(1)-2}\Leftrightarrow {{(f(1)-2)}^{2}}<2$

που ισχύει αφού $2<f(1)<3\Leftrightarrow 0<f(1)-2<1$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

γενικό θέμα

γενικό θέμα

Re: γενικό θέμα

Re: γενικό θέμα

Re: γενικό θέμα

Re: γενικό θέμα

Re: γενικό θέμα

Re: γενικό θέμα

Μέλη σε σύνδεση