Ζητείται η συνάρτηση

#21

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 09, 2023 10:59 pm
...
Πιστεύω ότι τώρα ίσως μπορέσουμε να βγάλουμε άκρη

ΠΡΩΤΗ ΑΣΚΗΣΗ: Δίνεται μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ και μια ακόμα $\displaystyle{g}$ με $\displaystyle{g(x)=x-2}$ .

Αν $\displaystyle{(fog)(x) = \frac{x^2 -x}{x}}$ , να βρεθεί ο τύπος και το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f}$

...

Αρχικά, καλό είναι να δοθεί για ποια

ισχύει η σχέση $\displaystyle{(fog)(x) = \frac{x^2 -x}{x}}$ στη διατύπωση της άσκησης. Αλλιώς, η ασάφεια μεγαλώνει. Το ίδιο ισχύει για τη συνάρτηση στο αρχικό ποστ.

Υποθέτω ότι ισχύει για κάθε $x\ne 0$ .

Τότε η συνάρτηση

με

για κάθε $x\ne -2$ και f(-2)=c

, με $c\in\mathbb{R}$ επίσης ικανοποιεί τη συνθήκη.

Δηλ. δεν έχει νόημα να περιορίζουμε το πεδίο ορισμού της

σε κάτι μικρότερο από το $\mathbb{R}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#22

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 09, 2023 11:18 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 09, 2023 10:59 pm
...
Πιστεύω ότι τώρα ίσως μπορέσουμε να βγάλουμε άκρη

ΠΡΩΤΗ ΑΣΚΗΣΗ: Δίνεται μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ και μια ακόμα $\displaystyle{g}$ με $\displaystyle{g(x)=x-2}$ .

Αν $\displaystyle{(fog)(x) = \frac{x^2 -x}{x}}$ , να βρεθεί ο τύπος και το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f}$

...
Αρχικά, καλό είναι να δοθεί για ποια ισχύει η σχέση $\displaystyle{(fog)(x) = \frac{x^2 -x}{x}}$ στη διατύπωση της άσκησης. Αλλιώς, η ασάφεια μεγαλώνει. Το ίδιο ισχύει για τη συνάρτηση στο αρχικό ποστ.

Υποθέτω ότι ισχύει για κάθε $x\ne 0$ .

Τότε η συνάρτηση με για κάθε $x\ne -2$ και , με $c\in\mathbb{R}$ επίσης ικανοποιεί τη συνθήκη.

Δηλ. δεν έχει νόημα να περιορίζουμε το πεδίο ορισμού της σε κάτι μικρότερο από το $\mathbb{R}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Αχιλλέα, ευχαριστώ που ασχολήθηκες με το θέμα.

Σίγουρα δεν έχω λόγο να αμφισβητήσω τα όσα γράφεις τόσο εσύ, όσο και το μέλος μας abgd.

Απλώς εκεί που έχω "κολλήσει", είναι το εξής:

Αν πούμε ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το R , τότε με δεδομένο ότι και το πεδίο ορισμού της g είναι το R

θα βρίσκαμε ως πεδίο ορισμού της σύνθεσης $\displaystyle{fog}$ το εξής:

$\displaystyle{A_{fog}=\{x\inR : x-2 \in R\}=R}$ . Ενώ έχουμε ότι το πεδίο ορισμού της σύνθεσης είναι το $\displaystyle{R-\{0\}}$ .

Ενώ, παίρνοντας ως πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f}$ το $\displaystyle{R-\{-2\}}$ , βρίσκουμε ότι το πεδίο ορισμού της σύνθεσης είναι πράγματι

το $\displaystyle{R-\{0\}}$ .

abgd · #23

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 09, 2023 10:59 pm

Αν συμφωνούμε, τότε θα έχουμε να κάνουμε με τον τρόπο που διατυπώθηκε η αρχική άσκηση, οπότε το θέμα λήγει.

Αν όχι, χρειάζεται περισσότερη συζήτηση νομίζω, για όσα μέλη μας βέβαια το επιθυμούν.

Δημήτρη ναι. Συμφωνούμε

Αυτό που πρέπει να γίνει κατανοητό είναι αυτό που είπα και προηγουμένως.

Έστω οι προτάσεις:

"Δίνεται η συνάρτηση (με αυτό το πεδίο ορισμού)...."
και
"Για κάποια συνάρτηση, (χωρίς να μας δίνεται πεδίο ορισμού), ισχύει η παρακάτω ισότητα..."

Η πρώτη πρόταση εμπεριέχει το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Η δεύτερη όχι. Τα χ για το οποία ισχύει η ισότητα δεν μας λένε κάτι για το ποιο θα είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Αρκεί η συνάρτηση που θα βρούμε να ικανοποιεί τη δοσμένη ισότητα.

Να σημειώσω επίσης ότι πολλές φορές, για λόγους οικονομίας χρόνου και χώρου, γράφουμε "Δίνεται η συνάρτηση..." χωρίς να αναφέρουμε το πεδίο ορισμού της. Τυπικά αυτό είναι λάθος. Έχουμε όμως κάνει μια "κρυφή συμφωνία": το πεδίο ορισμού της συνάρτησης που γράφουμε θα είναι το ευρύτερο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών στο οποίο έχει νόημα πραγματικού αριθμού η δοσμένη συνάρτηση. Αυτό βέβαια ισχύει και για τις δοσμένες ισότητες.

#24

Δημήτρη, καλημέρα,

Εάν δεν δίνεται ρητά το πεδίο ορισμού της σύνθεσης $f\circ g$ , τότε δε σημαίνει ότι είναι αυτό για το οποίο ισχύει μια δοθείσα σχέση, π.χ. η $(f\circ g)(x)=\frac{x^2-x}{x}$ .

Η δοθείσα σχέση θα ισχύει σε ένα υποσύνολο του πεδίου ορισμού της $f\circ g$ . Όπως έχει διατυπωθεί η άσκηση, δεν είναι μοναδική η απάντηση για την

.

Εάν δοθεί εξ αρχής ότι αναζητούμε μια συνάρτηση

τέτοια ώστε το πεδίο ορισμού της $f\circ g$ να είναι το $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ , τότε η απάντηση είναι μοναδική.

Φιλικά,

Αχιλλέας

orestisgotsis · #25

ΠΕΡΙΤΤΑ

Henri van Aubel · #26

Καλησπέρα, έλειψα για μέρες. Ορέστη, επίτρεψέ μου να σου πω ότι οι συνάδελφοι έχουν δίκιο. Τι ψάχνεις ακριβώς;

#27

achilleas έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 10, 2023 9:55 am
Δημήτρη, καλημέρα,

Εάν δεν δίνεται ρητά το πεδίο ορισμού της σύνθεσης $f\circ g$ , τότε δε σημαίνει ότι είναι αυτό για το οποίο ισχύει μια δοθείσα σχέση, π.χ. η $(f\circ g)(x)=\frac{x^2-x}{x}$ .

Η δοθείσα σχέση θα ισχύει σε ένα υποσύνολο του πεδίου ορισμού της $f\circ g$ . Όπως έχει διατυπωθεί η άσκηση, δεν είναι μοναδική η απάντηση για την .

Εάν δοθεί εξ αρχής ότι αναζητούμε μια συνάρτηση τέτοια ώστε το πεδίο ορισμού της $f\circ g$ να είναι το $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ , τότε η απάντηση είναι μοναδική.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Έχει ξεκαθαρίσει το τοπίο Αχιλλέα και νομίζω ότι δεν υπάρχουν πλέον αμφιβολίες. Απλώς, τόσο εγώ όσο και κάποιοι συνάδελφοι που

είδαν το θέμα, θεωρήσαμε ότι το πεδίο ορισμού της σύνθεσης είναι αυτό που προκύπτει από την δοθείσα σχέση και για αυτό

είπαμε ότι η f έχει το μοναδικό πεδίο ορισμού. Το συμπέρασμα λοιπόν που προκύπτει, είναι ότι όταν δίνεται η σύνθεση δύο συναρτήσεων,

το πεδίο ορισμού της θα πρέπει και αυτό να δίνεται , αν θέλουμε να έχουμε μοναδική απάντηση για το πεδίο ορισμού των f, ΄ή g.

Ευχαριστώ και πάλι όλους τους φίλους που ασχολήθηκαν με το θέμα.

Λευτέρης Παπανικολάου · #28

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 10, 2023 5:23 pm

achilleas έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 10, 2023 9:55 am
Δημήτρη, καλημέρα,

Εάν δεν δίνεται ρητά το πεδίο ορισμού της σύνθεσης $f\circ g$ , τότε δε σημαίνει ότι είναι αυτό για το οποίο ισχύει μια δοθείσα σχέση, π.χ. η $(f\circ g)(x)=\frac{x^2-x}{x}$ .

Η δοθείσα σχέση θα ισχύει σε ένα υποσύνολο του πεδίου ορισμού της $f\circ g$ . Όπως έχει διατυπωθεί η άσκηση, δεν είναι μοναδική η απάντηση για την .

Εάν δοθεί εξ αρχής ότι αναζητούμε μια συνάρτηση τέτοια ώστε το πεδίο ορισμού της $f\circ g$ να είναι το $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ , τότε η απάντηση είναι μοναδική.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Έχει ξεκαθαρίσει το τοπίο Αχιλλέα και νομίζω ότι δεν υπάρχουν πλέον αμφιβολίες. Απλώς, τόσο εγώ όσο και κάποιοι συνάδελφοι που

είδαν το θέμα, θεωρήσαμε ότι το πεδίο ορισμού της σύνθεσης είναι αυτό που προκύπτει από την δοθείσα σχέση και για αυτό

είπαμε ότι η f έχει το μοναδικό πεδίο ορισμού. Το συμπέρασμα λοιπόν που προκύπτει, είναι ότι όταν δίνεται η σύνθεση δύο συναρτήσεων,

το πεδίο ορισμού της θα πρέπει και αυτό να δίνεται , αν θέλουμε να έχουμε μοναδική απάντηση για το πεδίο ορισμού των f, ΄ή g.

Ευχαριστώ και πάλι όλους τους φίλους που ασχολήθηκαν με το θέμα.

Κύριε Δημήτρη, απλά να συμπληρώσω ότι σύμφωνα με την περίπτωση ii) της άσκησης 6 της Β' Ομάδας του σχολικού βιβλίου στη σελίδα 30, μπορεί και αυτό να μην είναι αρκετό. Δηλαδή, μπορεί να δίνεται το πεδίο ορισμού της σύνθεσης, χωρίς αυτό να μας εξασφαλίζει πάντα τη μοναδικότητα για το πεδίο ορισμού κάποιας από τις δύο συναρτήσεις. Στο συγκεκριμένο, μπορεί το πεδίο ορισμού της f να είναι το (-οο, 0] αλλά μπορεί επίσης να είναι το (-οο,1].

stranger · #29

Το μπέρδεμα νομίζω έρχεται από το γεγονός ότι ερωτήσεις του τύπου σου δίνω μία συνάρτηση και βρες μου το πεδίο ορισμού δεν είναι απόλυτα ακριβείς.
Εννοώ πρώτα δίνεις το πεδίο ορισμού και μετά την συνάρτηση κατά κάποιο τρόπο.

Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση