Ανισοτική σε ολοκληρώματα

#1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f$ παραγωγίσιμη στο [1, 2]

με

και

για κάθε $x\in[1, 2].$

Να δείξετε ότι $\displaystyle 1 \le \int_1^2 f (x)dx \le e$

Christos.N · #2

Καλημέρα Γιώργο

Παρατηρούμε ότι : $\displaystyle f'\left( x \right) + f\left( x \right) > 1 \Leftrightarrow {e^x}f'\left( x \right) + {e^x}f\left( x \right) - {e^x} > 0,x \in \left[ {1,2} \right]$

Θεωρώντας λοιπόν την συνεχή, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, συνάρτηση $\displaystyle h\left( x \right) = {e^x}f\left( x \right) - {e^x},x \in \left[ {1,2} \right]$ που είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση και γνωρίζοντας ότι $\displaystyle h'\left( x \right) > 0$ στο $\displaystyle \left( {1,2} \right)$ , συμπεραίνουμε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle \left[ {1,2} \right]$ .

Άρα, $\displaystyle 1 \leqslant x \leqslant 2 \Rightarrow 0 \leqslant h\left( x \right) \leqslant {e^2} \Rightarrow 0 \leqslant {e^x}f\left( x \right) - {e^x} \leqslant {e^2} \Rightarrow 1 \leqslant f\left( x \right) \leqslant 1 + {e^{2 - x}}$

$\displaystyle \Rightarrow \int\limits_1^2 1 \,dx \leqslant \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} \,dx \leqslant \int\limits_1^2 {1 + {e^{2 - x}}} \,dx \Rightarrow 1 \leqslant \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} \,dx \leqslant e$

Tolaso J Kos · #3

Γεια σου Γιώργο,

είναι
$\displaystyle{\begin{aligned} f'(x) + f(x) >1 &\Rightarrow f'(x) + f(x) - 1 >0\\ &\Rightarrow e^x f'(x)+ e^x f(x) - e^x >0\\ &\Rightarrow \left ( e^x f(x) - e^x \right )' >0 \\ &\Rightarrow \left ( e^x \left ( f(x) - 1 \right ) \right )' >0 \end{aligned}}$
Συνεπώς η συνάρτηση $g(x)=e^x \left( f(x) - 1 \right)$ είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα [1, 2]

. Τότε όμως

$\displaystyle{\begin{aligned} g(1) \leq g(x) \leq g(2) &\Rightarrow 0 \leq e^x \left ( f(x) - 1 \right ) \leq e^2 \\ &\Rightarrow 0 \leq f(x) - 1 \leq e^{2-x}\\ &\Rightarrow 1 \leq f(x) \leq e^{2-x} +1 \\ &\Rightarrow \int_{1}^{2} \, {\rm d}x \leq \int_{1}^{2} f(x) \, {\rm d}x \leq \int_{1}^{2} \left ( e^{2-x} +1 \right ) \, {\rm d}x \\ &\Rightarrow 1 \leq \int_{1}^{2} f(x) \, {\rm d}x \leq e -1 +1 \\ &\Rightarrow 1 \leq \int_{1}^{2} f(x) \, {\rm d}x \leq e \end{aligned}}$
που αποδεικνύει το ζητούμενο.

Ανισοτική σε ολοκληρώματα

Ανισοτική σε ολοκληρώματα

Re: Ανισοτική σε ολοκληρώματα

Re: Ανισοτική σε ολοκληρώματα

Μέλη σε σύνδεση