Παλαιών αρχών

#1

Δίνεται η μη σταθερή συνάρτηση $\displaystyle{f:R\to R}$ , παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{0}$ με $\displaystyle{{f}'(0)=0}$ ,
για την οποία ισχύει : $\displaystyle{2f(x+y)={{e}^{xy}}f(x)f(y)}$
α) Δείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$ .
β) Να βρείτε τον τύπο της $\displaystyle{f}$
Αν $\displaystyle{f(x)=2{{e}^{\frac{{{x}^{2}}}{2}}}}$ , τότε :
γ) Να μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα .
δ) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(x)\ge 2{{e}^{2}}(2x-3)}$
ε) Αν $\displaystyle{F}$ είναι μια αρχική της $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{F(1)=0}$ , να υπολογίσετε το $\displaystyle{I=\int_{0}^{1}{F(x)dx}}$

Tolaso J Kos · #2

exdx έγραψε:Δίνεται η μη σταθερή συνάρτηση $\displaystyle{f:R\to R}$ , παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{0}$ με $\displaystyle{{f}'(0)=0}$ ,
για την οποία ισχύει : $\displaystyle{2f(x+y)={{e}^{xy}}f(x)f(y)}$
α) Δείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$ .
β) Να βρείτε τον τύπο της $\displaystyle{f}$
Αν $\displaystyle{f(x)=2{{e}^{\frac{{{x}^{2}}}{2}}}}$ , τότε :
γ) Να μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα .
δ) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(x)\ge 2{{e}^{2}}(2x-3)}$
ε) Αν $\displaystyle{F}$ είναι μια αρχική της $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{F(1)=0}$ , να υπολογίσετε το $\displaystyle{I=\int_{0}^{1}{F(x)dx}}$

Γεια σου Γιώργη,

(α) , (β) Θα αποδείξουμε ότι η

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ . Ενεργοποιούμε τον ορισμό της παραγώγου και κατά συνέπεια
$\displaystyle{\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ &=\frac{1}{2}\lim_{h\rightarrow 0} \frac{e^{xh} f(x) f(h)-2f(x)}{h} \\ &=\frac{f(x)}{2} \lim_{h\rightarrow 0} \frac{e^{xh} f(h)-2}{h} \\ &= x f(x) \end{aligned}}$ Η αρχική σχέση δίδει για x=0

$\displaystyle{\begin{aligned} 2f(0) = f^2(0) &\Leftrightarrow f^2(0) -2f(0) =0 \\ &\Leftrightarrow f(0) \left ( f(0) - 2 \right ) =0 \\ &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(0) = 0 & \\ f(0) =2& \end{matrix}\right. \end{aligned}}$ Επιλύοντας με τη σύνηθες μεθοδολογία τη διαφορική που προέκυψε πάνω έχουμε ότι $f(x)=c e^{x^2/2}$ . Αν f(0)=0

τότε

και άρα η

είναι σταθερή άτοπο αφού η εκφώνηση δίδει ότι η

δεν είναι σταθερή. Άρα f(0)=2

και κατά συνέπεια $f(x)=2e^{x^2/2}$ .

(γ) Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με παράγωγο $f'(x)=2xe^{x^2/2}$ και κατά συνέπεια είναι γνήσια αύξουσα στο $[0, +\infty)$ ενώ γνήσια φθίνουσα στο $(-\infty, 0]$ . Επίσης είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με δεύτερη παράγωγο $\displaystyle{f''(x) = 2 e^{x^2/2} \left ( x^2+1 \right ) >0 }$ και άρα η

είναι κυρτή.

(δ) Η εφαπτομένη της $\mathcal{C}_f$ στο x_0=2

είναι η ευθεία με εξίσωση y -f(2) = f'(2) (x -2)

η οποία παίρνει τη τελική της μορφή και είναι η ευθεία με εξίσωση
$\displaystyle{y - 2 e^2 = 4 e^2 \left ( x -2 \right ) \Leftrightarrow y = 4e^2 x -6e^2 = 2 e^2 \left ( 2x - 3 \right )}$ και επειδή η

είναι κυρτή το γράφημά της θα βρίσκεται πάνω από αυτό της εφαπτομένης με εξαίρεση το σημείο επαφής. Η ανισότητα πλέον έπεται.

(ε) Τι πιο προφανές από το να εφαρμόσουμε παράγοντες. Τότε έχουμε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{I} &= \int_{0}^{1} F(x) \, {\rm d}x \\ &=\int_{0}^{1} (x)' F(x) \, {\rm d}x \\ &= \left [ x F(x) \right ]_0^1 - \int_{0}^{1} x F'(x) \, {\rm d}x\\ &= -\int_{0}^{1} 2xe^{x^2/2} \, {\rm d}x \\ &= -\left [ 2e^{x^2/2} \right ]_0^1 \\ & = 2 - 2\sqrt{e} \end{aligned}}$ και κάπως έτσι τελείωσε αυτή η ωραία ασκήση.

#3

exdx έγραψε:Δίνεται η μη σταθερή συνάρτηση $\displaystyle{f:R\to R}$ , παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{0}$ με $\displaystyle{{f}'(0)=0}$ ,
για την οποία ισχύει : $\displaystyle{2f(x+y)={{e}^{xy}}f(x)f(y)}$
α) Δείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$ .
β) Να βρείτε τον τύπο της $\displaystyle{f}$
Αν $\displaystyle{f(x)=2{{e}^{\frac{{{x}^{2}}}{2}}}}$ , τότε :
γ) Να μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα .
δ) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(x)\ge 2{{e}^{2}}(2x-3)}$
ε) Αν $\displaystyle{F}$ είναι μια αρχική της $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{F(1)=0}$ , να υπολογίσετε το $\displaystyle{I=\int_{0}^{1}{F(x)dx}}$

α) $2f\left( {x + y} \right) = {e^{xy}}f\left( x \right)f\left( y \right)\mathop \Rightarrow \limits^{y = 0} 2f\left( x \right) = f\left( x \right)f\left( 0 \right)$ $\Leftrightarrow f\left( x \right)\left( {2 - f\left( 0 \right)} \right) = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 2$ διότι αν $f\left( x \right) = 0,\forall x \in R \Rightarrow f$ σταθερή ,πράγμα άτοπο, και $f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - 2}}{x} = 0$

Είναι $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \dfrac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \dfrac{{\dfrac{{{e^{{x_0}h}}f\left( {{x_0}} \right)f\left( h \right)}}{2} - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}$ $= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left[ {\dfrac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{2} \cdot \dfrac{{{e^{{x_0}h}}f\left( h \right) - 2}}{h}} \right]$

$= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left[ {\dfrac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{2} \cdot \dfrac{{{e^{{x_0}h}}f\left( h \right) - 2 + 2{e^{{x_0}h}} - 2{e^{{x_0}h}}}}{h}} \right] =$ $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left[ {\dfrac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{2} \cdot \left[ {{e^{{x_0}h}} \cdot \dfrac{{f\left( h \right) - 2}}{h} + \dfrac{{2\left( {{e^{{x_0}h}} - 1} \right)}}{h}} \right]} \right]:\left( 1 \right)$ .

Με $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \dfrac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{2} = \dfrac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{2} \\ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \dfrac{{f\left( h \right) - 2}}{h} = f'\left( 0 \right) = 0 \\ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} {e^{{x_0}h}}\mathop = \limits^{u = {x_0}h,h \to 0 \Rightarrow u \to 0} \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} {e^u} = 1 \\ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \dfrac{{2\left( {{e^{{x_0}h}} - 1} \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left[ {2{x_0} \cdot \dfrac{{{e^{{x_0}h}} - 1}}{{{x_0}h}}} \right]\mathop = \limits^{u = {x_0}h,h \to 0 \Rightarrow u \to 0} \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left[ {2{x_0} \cdot \dfrac{{{e^u} - 1}}{u}} \right]\mathop = \limits^{\left( * \right)} \ldots 2{x_0} \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \dfrac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h} = {x_0}f\left( {{x_0}} \right)$

$\Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = {x_0}f\left( {{x_0}} \right),\forall {x_0} \in R \Rightarrow$ $\boxed{f'\left( x \right) = xf\left( x \right)}:\left( 2 \right),\forall x \in R$ .

γ) Από την $\left( 2 \right) \Rightarrow f'\left( x \right) - xf\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}f'\left( x \right) - x{e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}f\left( x \right)}}{{{{\left( {{e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}} \right)}^2}}} = 0$ $\Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}}}} \right)^\prime } = 0 \Leftrightarrow$

$\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}}} = c,\forall x \in R \Leftrightarrow$ $f\left( x \right) = c{e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}\mathop \Rightarrow \limits^{f\left( 0 \right) = c \Leftrightarrow c = 2} \boxed{f\left( x \right) = 2{e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}}$

η οποία εύκολα επαληθεύει τα δεδομένα της εκφώνησης για την και μάλιστα $\boxed{f\left( x \right) > 0,\forall x \in R}:\left( 3 \right)$

γ) Είναι $f'\left( x \right) = xf\left( x \right) = 2x{e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}$ οπότε

για $x > 0\mathop \Rightarrow \limits^{2{e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}} > 0} f'\left( x \right) > 0\mathop \Rightarrow \limits^{f\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma \,\,\sigma \tau o\,\,R\,\,(\omega \varsigma \,\,\pi \alpha \rho \alpha \gamma \omega \gamma \iota \sigma \iota \mu \eta )} f$ γνησίως αύξουσα στο $\left[ 0.+\infty \right)$ και

για $x < 0\mathop \Rightarrow \limits^{2{e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}} > 0} f'\left( x \right) < 0\mathop \Rightarrow \limits^{f\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma \,\,\sigma \tau o\,\,R\,\,(\omega \varsigma \,\,\pi \alpha \rho \alpha \gamma \omega \gamma \iota \sigma \iota \mu \eta )} f$ γνησίως φθίνουσα στο $\left( -\infty ,0 \right]$ .

Η είναι προφανώς παραγωγίσιμη στο (πράξεις με παραγωγίσιμες) με $f''\left( x \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^\prime } =$

${\left[ {xf\left( x \right)} \right]^\prime } = f\left( x \right) + xf'\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^2}f\left( x \right)$ $= \left( {1 + {x^2}} \right)f\left( x \right)\mathop > \limits^{\left( 3 \right)} 0,\forall x \in R$ , άρα η κυρτή στο

δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση $h\left( x \right)={{e}^{\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-2}}-2x+3$ (προφανώς παραγωγίσιμη στο (πράξεις με παραγωγίσιμες))

με $h'\left( x \right) = x{e^{\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2}} - 2$ και $h''\left( x \right) = {x^2}{e^{\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2}} \geqslant 0$ με $h''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$

(μεμονωμένο σημείο) και άρα ${h}'\left( x \right)$ γνησίως αύξουσα με μοναδική επομένως ρίζα την προφανή και $\forall x > 2 \Rightarrow h'\left( x \right) > 0\,\,\,\& \,\,\,\forall x < 2\,\, \Rightarrow h'\left( x \right) < 0$

άρα η έχει ολικό ελάχιστο το $h\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow h\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \ldots \boxed{f\left( x \right) \geqslant 2{e^2}\left( {2x - 3} \right)}$ .

ε) Έχουμε: $I = \int\limits_0^1 {F\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {{{\left( x \right)}^\prime }F\left( x \right)dx} = \left[ {xF\left( x \right)} \right]_0^1 - \int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx}$ $= F\left( 1 \right) - \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx} =$

$F\left( 1 \right) - \left[ {f\left( x \right)} \right]_0^1 = F\left( 1 \right) - f\left( 1 \right) + f\left( 0 \right)$ $= 0 - 2\sqrt e + 2 \Rightarrow \boxed{I = 2\left( {1 - \sqrt e } \right)}$ και όλα τα ζητούμενα έχουν βρεθεί και αποδειχθεί.

Στάθης

Υ.Σ. Οση ώρα έγραφα δόθηκε απάντηση. Οταν βέβαια είδα ήταν αργά.

Πού να τον προλάβουμε το νέο ρε παιδιά εμείς τα παππούδια και μάλιστα ποιόν νέο!!!!! Είδα το "παλαιών αρχών" και "τσίμπισα" αλλά λογάριασα χωρίς τον "ξενοδόχο" Ας την αφήσω μιας και είναι αναλυτικά γραμμένη και κάπως πιο σχολικά

Tolaso J Kos · #4

Γεια σου Στάθη... !!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Εχει ενδιαφέρον ότι η συναρτησιακή οδηγεί σε μία πολύ γνωστή.

Βάζοντας x=y

παίρνουμε $2f(2x)=e^{x^{2}}(f(x))^{2}\geq 0$

Επειδή αν $f(x_{0})=0$ παίρνουμε από την αρχική ότι η συνάρτηση είναι σταθερή

συμπεραίνουμε οτι $x\in \mathbb{R}\Rightarrow f(x)> 0$

Ετσι μπορούμε να λογαριθμήσουμε και να πάρουμε

ln2+lnf(x+y)=xy+lnf(x)+lnf(y)

Θέτοντας

γίνεται

Θέτοντας $h(x)=g(x)-\dfrac{x^{2}}{2}$

η προηγούμενη δίνει

h(x+y)=h(x)+h(y)

(1)

όπου είναι $lnf(x)=h(x)+ln2+\dfrac{x^{2}}{2}$

π.χ Αν δοθεί ότι η

είναι φραγμένη άνω σε ένα διάστημα τότε μέσω της (1)

μπορούμε να δείξουμε ότι η

είναι συνεχής και παραγωγίσιμη παντού και φυσικά να την βρούμε.

Παλαιών αρχών

Παλαιών αρχών

Re: Παλαιών αρχών

Re: Παλαιών αρχών

Re: Παλαιών αρχών

Re: Παλαιών αρχών

Μέλη σε σύνδεση