Διαφορική f''(x) = -f(x)

dijkstra · #1

Να λυθεί η διαφορική
$\displaystyle{ f''(x) = -2 f(x), f'(0) = f(0)=1 }$

edit:
Αν θέλετε το πιστεύετε, αλλά μόλις πόσταρα αυτή την άσκηση ανακάλυψα ότι η αμέσως προηγούμενη άσκηση (Τύπος Συνάρτησης) τη οποία πήγα να λύσω καταλήγει κάποια στιγμή σε αυτή!!!!
Επειδή αυτό που προτείνω μου φαίνεται κλασικό έψαξα στο φόρουμ αν υπάρχει και δεν το βρήκα, για αυτό το ανέβασα.
Αν θεωρείται πλεονασμός πείτε μου να το διαγράψω

#2

dijkstra έγραψε:Να λυθεί η διαφορική f''(x) = -f(x). με f(0)=f'(0)=1

Η λύση της υπάρχει σε όλα τα βιβλία διαφορικών εξισώσεων, και δεν υπάρχει λόγος να την επαναλάβουμε εδώ. Εμπίπτει στην κατηγορία των γραμμικών (εδώ δευτεροβάθμιων) διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές.

Η συγκεκριμένη έχει γενική λύση την $y= A \sin x + B\cos x$ . Λαμβάνοντας υπόψη τις αρχικές συνθήκες, θα βρούμε A=B=1

.

M.

parmenides51 · #3

λυκειακά εδώ

dijkstra · #4

Ναι, έτσι είναι, αλλά αυτό ισχύει σε ένα μάθημα διαφορικών εξισώσεων στο πανεπιστήμιο όπου έχει διδαχθεί και η ανάλογη θεωρία.
Εννοούσα να το λύσει κάποιος με τα σχολικά μαθηματικά, με τεχνάσματα χωρίς να κάνει χρήση της θεωρίας.
όπως στο παρακάτω link
viewtopic.php?f=54&t=24996

Mihalis_Lambrou έγραψε:
dijkstra έγραψε:Να λυθεί η διαφορική f''(x) = -f(x). με f(0)=f'(0)=1
Η λύση της υπάρχει σε όλα τα βιβλία διαφορικών εξισώσεων, και δεν υπάρχει λόγος να την επαναλάβουμε εδώ. Εμπίπτει στην κατηγορία των γραμμικών (εδώ δευτεροβάθμιων) διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές.

Η συγκεκριμένη έχει γενική λύση την $y= A \sin x + B\cos x$ . Λαμβάνοντας υπόψη τις αρχικές συνθήκες, θα βρούμε .

M.

mathxl · #5

Σχολικά μπορούμε να δουλέψουμε με την $\displaystyle{h\left( x \right) = {\left( {f\left( x \right) - \eta \mu x - \sigma \upsilon \nu x} \right)^2} + {\left( {f'\left( x \right) + \eta \mu x - \sigma \upsilon \nu x} \right)^2}}$ που βέβαια την ορίζεις μόνο αν έχεις τις γνώσεις (βλέπε παραπάνω την αντιμετώπιση από τον Μιχάλη).

Έχουμε $\displaystyle{h\left( 0 \right) = 0 \wedge h'\left( x \right) = 0}$ κτλ

dijkstra · #6

Αν αντί να ζητάμε την

λέμε να αποδείξει ο μαθητής ότι $f(x) = \sin x + \cos x$
πιστεύετε ότι είναι αρκετά έξω από τη σχολική πραγματικότητα? Θα το θεωρούσατε υπερβολικό αν την έβαζε κάποιος σε ένα τεστ?

mathxl έγραψε:Σχολικά μπορούμε να δουλέψουμε με την $\displaystyle{h\left( x \right) = {\left( {f\left( x \right) - \eta \mu x - \sigma \upsilon \nu x} \right)^2} + {\left( {f'\left( x \right) + \eta \mu x - \sigma \upsilon \nu x} \right)^2}}$ που βέβαια την ορίζεις μόνο αν έχεις τις γνώσεις (βλέπε παραπάνω την αντιμετώπιση από τον Μιχάλη).

Έχουμε $\displaystyle{h\left( 0 \right) = 0 \wedge h'\left( x \right) = 0}$ κτλ

mathxl · #7

Εμμμ η γνώμη μου είναι πως έτσι ξεφεύγει έστω και εάν προσωπικά έχω δώσει μεθοδολογία που υποστηρίζει τον ορισμό της συνάρτησης που όρισα. Δηλαδή το θεωρώ τραβηγμένο για εξετάσεις πανελλήνιες. Θα προτιμούσα να δειχθεί ότι η $\displaystyle{h}$ είναι σταθερή και κατόπιν ένα ερώτημα που να ζητά τον τύπο της $\displaystyle{f}$ .
Τώρα για τεστ συναδέλφου τα πράγματα αλλάζουν διότι δεν γνωρίζω που έχει επιμείνει και τι έχει διδάξει σε βάθος, οπότε δεν έχω άποψη.

dijkstra · #8

δεν μιλάω για πανελλήνιες. απλά σαν μια πολύ δύσκολη άσκηση για συζήτηση μέσα στην τάξη.
Προηγουμένως θα έχω κάνει την f(x)=f''(x)

όπου πολλαπλασιάζω και προσθαφαιρώ με κατάλληλους όρους ώστε να βάλω στο παιχνίδι την e^x

.
Οπότε θα ήθελα να δω αν μπορούν να κάνουν το ίδιο ώστε να σχηματίσουν μια παράγωγο γινομένου ή πηλίκου με ημ και συν μέσα,
όπως κάνει ο συνάδελφος στο προηγούμενο λινκ που έδωσα.

τες πα, ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις

mathxl έγραψε:Εμμμ η γνώμη μου είναι πως έτσι ξεφεύγει έστω και εάν προσωπικά έχω δώσει μεθοδολογία που υποστηρίζει τον ορισμό της συνάρτησης που όρισα. Δηλαδή το θεωρώ τραβηγμένο για εξετάσεις πανελλήνιες. Θα προτιμούσα να δειχθεί ότι η $\displaystyle{h}$ είναι σταθερή και κατόπιν ένα ερώτημα που να ζητά τον τύπο της $\displaystyle{f}$ .
Τώρα για τεστ συναδέλφου τα πράγματα αλλάζουν διότι δεν γνωρίζω που έχει επιμείνει και τι έχει διδάξει, οπότε δεν έχω άποψη.

Διαφορική f''(x) = -f(x)

Διαφορική f''(x) = -f(x)

Re: Διαφορική f''(x) = -f(x)

Re: Διαφορική f''(x) = -f(x)

Re: Διαφορική f''(x) = -f(x)

Re: Διαφορική f''(x) = -f(x)

Re: Διαφορική f''(x) = -f(x)

Re: Διαφορική f''(x) = -f(x)

Re: Διαφορική f''(x) = -f(x)

Μέλη σε σύνδεση