Θεωρητικές στα ολοκλήρωματα

Tolaso J Kos · #1

Μεταφέρω τις ασκήσεις από το θέμα εδώ σε αυτό εδώ το θέμα για να συζητηθούν αυτόνομα καθώς εκεί θα χαθούν....

Άσκηση 1

Έστω $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\pi/2} f(\sin 2x) \cos x \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{\pi/2} f \left ( \cos^2 x \right ) \cos x \, \mathrm{d}x}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Άσκηση 2

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f \left ( \sin x \right ) \, \mathrm{d}x}$

gb1234 · #2

Καλησπέρα! Ας δούμε τη δεύτερη
Είναι $\int_{0}^{\pi}f(sinx)dx=\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx+\int_{\pi/2}^{\pi}f(sinx)dx=\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx+\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx=2\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx$ (1)

,αφού με αλλαγή μεταβλητής $u=\pi-x$ εύκολα προκύπτει $\int_{\pi/2}^{\pi}f(sinx)dx=\int_{0}^{\pi/2}f(sinu)du=\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx$
Από την άλλη, $\int_{0}^{\pi}xf(sinx)dx=\int_{0}^{\pi/2}xf(sinx)dx+\int_{\pi/2}^{\pi}xf(sinx)dx$ και χρησιμοποιώντας και πάλι την αντικατάσταση $u=\pi-x$ , το δεύτερο ολοκλήρωμα γίνεται $\int_{\pi/2}^{\pi}xf(sinx)dx=\int_{0}^{\pi/2}(\pi-u)f(sinu)du=\int_{0}^{\pi/2}(\pi-x)f(sinx)dx$
οπότε $\int_{0}^{\pi}xf(sinx)dx=\int_{0}^{\pi/2}xf(sinx)dx+\int_{0}^{\pi/2}(\pi-x)f(sinx)dχ=\pi\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx$ (2)

Τελικά, μέσω και των (1),(2)

, $\int_{0}^{\pi}xf(sinx)dx=\pi\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx=\frac{\pi}{2}*2\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(sinx)dx$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 09, 2023 10:28 pm

Άσκηση 2

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f \left ( \sin x \right ) \, \mathrm{d}x}$

Tόλη την έχεις λύσει στην παρακάτω δημοσίευση
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 56&t=66527

Θεωρητικές στα ολοκλήρωματα

Θεωρητικές στα ολοκλήρωματα

Re: Θεωρητικές στα ολοκλήρωματα

Re: Θεωρητικές στα ολοκλήρωματα

Μέλη σε σύνδεση