Ολοκλήρωμα και ανισότητα

#1

Αν $\displaystyle |{f}'(x)|\le 1$ για κάθε $\displaystyle x\in [0,2]$ και $\displaystyle f(0)=f(2)=1$ , δείξετε ότι $\displaystyle \int\limits_{0}^{2}{f(x)dx>1}$

#2

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 27, 2022 3:34 pm
Αν $\displaystyle |{f}'(x)|\le 1$ για κάθε $\displaystyle x\in [0,2]$ και $\displaystyle f(0)=f(2)=1$ , δείξετε ότι $\displaystyle \int\limits_{0}^{2}{f(x)dx>1}$

Για $0\le x \le 1$ έχουμε για κάποιο $\xi$ που εξαρτάται από το

ότι $f(x)-1=f(x) -f(0) = f'(\xi )(x-0) \ge -1(x-0)$ , άρα $f(x) \ge 1-x \,\, (*)$ .

Aνάλογα για $1\le x\le 2$ έχουμε $1-f(x)=f(2) -f(x) = f'(\xi )(2-x) \le 1( 2-x)$ , άρα $f(x) \ge x-1\,\, (**)$ .

Υπόψη ότι σε κάποιο

πρέπει είτε η (*)

είναι η

να είναι γνήσια ανισότητα, αλλιώς θα είχαμε ισότητα παντού, δηλαδή

$f(x) = \left\{\begin{matrix} 1-x& \alpha \nu \, 0\le x \le 1 \\ x-1& \alpha \nu \, 1\le x\le 2 \end{matrix}\right. \,\,\,\,$ ισοδύναμα f(x) = |x-1|

. Αλλά τότε δεν θα ήταν παραγωγίσιμη στο

. Άτοπο.

Με αυτό κατά νου έχουμε γνήσια ανισότητα στα παρακάτω:

$\displaystyle \int\limits_{0}^{2}f(x)dχ = \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx+ \int\limits_{1}^{2}{f(x)dx> \int\limits_{0}^{1}(1-x)dx+ \int\limits_{1}^{2}(x-1)dx = \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{2}=1$ , όπως θέλαμε.

#3

περίπου γεωμετρική λύση
εχουμε $\displaystyle{-1 \le f'(x)\le 1}$
αρα $\displaystyle{f(x)-x \downarrow,f(x)+x \uparrow}$
αρα aν $\displaystyle{0\le x\le 2}$ τότε
$\displaystyle{f(2)-2\le f(x)-x\le f(0)-0, f(0)+0\le f(x)+x \le f(2)+2}$
ή $\displaystyle{x-1\le f(x)\le x+1,1-x\le f(x)\le 3-x}$
αρα η $\displaystyle{C_f}$ βρίσκεται στο εσωτερικό του τετραγωνου με κορυφές τσ $\displaystyle{A(1,0),B(0,1),C(1,2),D(2,1)}$
Eτσι αφου $\displaystyle{f}$ Πιο ψηλα απο $\displaystyle{AB}$ το εμβαδον της στο $\displaystyle{[0,1]}$ θα ειναι > $\displaystyle{OAB=1/2}$
και στο $\displaystyle{[1,2]}$ θα εχει εμβαδον > $\displaystyle{ADE}$ =1/2 οπου $\displaystyle{E(2,0)}$
Τελικα $\displaystyle{\int_{0}^{2}f(x)dx>1}$

#4

Ομορφο και διδακτικό πρόβλημα, θα πρότεινα να δίνεται ως 'ελεύθερη υπόδειξη' το συνημμένο!

: υπόδειξη.png (3.08 KiB) Προβλήθηκε 1008 φορές

Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση