Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

#1

Έστω $f:[0,\,1]\rightarrow \mathbb R$ συνάρτηση με συνεχή παράγωγο τέτοια ώστε

$\displaystyle{ \int _0^1 f(x)f'(x) dx = {\color {red}7,5}$ και $\displaystyle{ \int _0^1 f^2(x)f'(x) dx = 21}$ .

Να βρεθεί το $\displaystyle{ \int _0^1 f^3(x)f'(x) dx }$ .

Aς την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας. Είναι απλή.

Edit: Άλλαξα ένα νούμερο ώστε να βγαίνουν εύκολα οι πράξεις. Ήταν απροσεξία μου στην δακτυλογράφηση.

Tolaso J Kos · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 31, 2021 3:13 pm
Έστω $f:[0,\,1]\rightarrow \mathbb R$ συνάρτηση με συνεχή παράγωγο τέτοια ώστε

$\displaystyle{ \int _0^1 f(x)f'(x) dx = 5}$ και $\displaystyle{ \int _0^1 f^2(x)f'(x) dx = 21}$ .

Να βρεθεί το $\displaystyle{ \int _0^1 f^3(x)f'(x) dx }$ .

Aς την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας. Είναι απλή.

Έχομεν και λέμε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1} f(x) f'(x) \, \mathrm{d}x = 5 &\Leftrightarrow \left [ \frac{f^2(x)}{2} \right ]_0^1 = 5 \\ &\Leftrightarrow f^2(1) - f^2(0) = 10 \end{aligned}}$
και

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1} f^2(x) f'(x) \, \mathrm{d}x = 21 &\Leftrightarrow \left [ \frac{f^3(x)}{3} \right ]_0^1 = 21 \\ &\Leftrightarrow f^3(1) - f^3(0) = 63 \end{aligned}}$
Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1} f^3(x) f'(x) &= \left [ \frac{f^4(x)}{4} \right ]_0^1 \\ &= \frac{1}{4} \left ( f^4(1) - f^4(0) \right ) \\ &= \frac{1}{4} \left ( f^2(1) - f^2(0) \right ) \left ( f^2(1) + f^2(0) \right ) \end{aligned}}$
Φτάνω εδώ αλλά κολλάω. Καμία υπόδειξη ;

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 01, 2021 11:03 pm

Φτάνω εδώ αλλά κολλάω. Καμία υπόδειξη ;

Οι δύο πρώτες σχέσεις που βρήκες, δηλαδή οι $\displaystyle{ f^2(1) - f^2(0) = 10,\, f^3(1) - f^3(0) = 63}$ ,

είναι σύστημα εξισώσεων ως προς f(1)

και

.

Edit: Άλλαξα ένα νούμερο στην αρχική άσκηση, ώστε να βγαίνουν εύκολα οι πράξεις. Ήταν τυπογραφική αβλεψία μου.

llenny · #4

Κι εγώ εκεί έχω φτάσει αλλά οι λύσεις είναι αρκετά "περίεργες" και η μόνη άλλη ιδέα που είχα ήταν να βρω τη παράσταση x^2 + y^2

μέσω των δύο αυτών σχέσεων, όμως δε το κατάφερα.

#5

llenny έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 02, 2021 8:24 am
Κι εγώ εκεί έχω φτάσει αλλά οι λύσεις είναι αρκετά "περίεργες" και η μόνη άλλη ιδέα που είχα ήταν να βρω τη παράσταση μέσω των δύο αυτών σχέσεων, όμως δε το κατάφερα.

Έχετε δίκιο, και εσύ και ο Τόλης. Είχα τυπογραφικό σφάλμα σε ένα από τα νούμερα της εκφώνησης. Τώρα το έφτιαξα (δείτε παραπάνω).

Τώρα το σύστημα είναι f^2(1)-f^2(0) = 15, f^3(1)-f^3(0) = 63

, με λύση $f(1)=4,\, f(0) = 1$ .

ZΗΤΩ ΣΥΓΝΩΜΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΑΛΑΙΠΩΡΙΑ.

Tolaso J Kos · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 02, 2021 8:42 am

llenny έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 02, 2021 8:24 am
Κι εγώ εκεί έχω φτάσει αλλά οι λύσεις είναι αρκετά "περίεργες" και η μόνη άλλη ιδέα που είχα ήταν να βρω τη παράσταση μέσω των δύο αυτών σχέσεων, όμως δε το κατάφερα.
Έχετε δίκιο, και εσύ και ο Τόλης. Είχα τυπογραφικό σφάλμα σε ένα από τα νούμερα της εκφώνησης. Τώρα το έφτιαξα (δείτε παραπάνω).

Τώρα το σύστημα είναι , με λύση $f(1)=4,\, f(0) = 1$ .

ZΗΤΩ ΣΥΓΝΩΜΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΑΛΑΙΠΩΡΙΑ.

Εμένα το Wolfram μου δίνει και δεύτερη λύση για σύστημα αυτό.

#7

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 02, 2021 10:41 am

Εμένα το Wolfram μου δίνει και δεύτερη λύση για σύστημα αυτό.

Εννοείται. Είναι τριτοβάθμιο πολυώνυμο οπότε έχει πραγματική ρίζα.

Tolaso J Kos · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 02, 2021 11:20 am

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 02, 2021 10:41 am

Εμένα το Wolfram μου δίνει και δεύτερη λύση για σύστημα αυτό.
Εννοείται. Είναι τριτοβάθμιο πολυώνυμο οπότε έχει πραγματική ρίζα.

Μιχάλη, παίρνω δύο

και δύο

από το σύστημα. Οπότε το f(1)

και το

δε μπορεί να είναι μόνο αυτά που έγραψες.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 02, 2021 8:42 am

Έχετε δίκιο, και εσύ και ο Τόλης. Είχα τυπογραφικό σφάλμα σε ένα από τα νούμερα της εκφώνησης. Τώρα το έφτιαξα (δείτε παραπάνω).

Τώρα το σύστημα είναι , με λύση $f(1)=4,\, f(0) = 1$ .

ZΗΤΩ ΣΥΓΝΩΜΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΑΛΑΙΠΩΡΙΑ.

#9

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 02, 2021 11:33 am

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 02, 2021 11:20 am

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 02, 2021 10:41 am

Εμένα το Wolfram μου δίνει και δεύτερη λύση για σύστημα αυτό.
Εννοείται. Είναι τριτοβάθμιο πολυώνυμο οπότε έχει πραγματική ρίζα.
Μιχάλη, παίρνω δύο και δύο από το σύστημα. Οπότε το και το δε μπορεί να είναι μόνο αυτά που έγραψες.

Μα αυτό ακριβώς είπα. Το τριτοβάθμιο που αναφέρομαι είναι αφού βρεις την λύση $x=4,\,y=1$

Tolaso J Kos · #10

Δεν καταλαβαίνω.

: Στιγμιότυπο από 2021-08-02 14-51-30.jpg (34.17 KiB) Προβλήθηκε 765 φορές

Η άλλη λύση γιατί απορρίπτεται και κρατάμε μόνο τη (4, 1)

;

#11

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 02, 2021 2:50 pm
Η άλλη λύση γιατί απορρίπτεται και κρατάμε μόνο τη ;

Ποιος είπε ότι απορρίπτεται. Είναι άλλη λύση.

Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Re: Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Re: Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Re: Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Re: Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Re: Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Re: Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Re: Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Re: Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Re: Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Re: Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Μέλη σε σύνδεση