Διάταξη τιμών

#1

: Integral.png (15.38 KiB) Προβλήθηκε 1544 φορές

Στο σχήμα βλέπετε τη γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης $\displaystyle f$ .
Έστω $\displaystyle g(x)=2f(x)-{{x}^{2}}$ . Να βάλετε σε μια σειρά τους αριθμούς $\displaystyle g(-2),g(2),g(4)$

#2

Καλησπέρα Γιώργη. Ωραία άσκηση.

Δίνω μια προσέγγιση. Οι ανισότητες των εμβαδών αποδεικνύονται με τραπέζια, τρίγωνα, ορθογώνια.

Το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη $C_{f'},$ τον άξονα x'x

και τις ευθείες με εξισώσεις x=2

και

είναι μικρότερο των 6 τετραγωνικών μονάδων, δηλαδή
$\displaystyle{\int_2^4f'(x)dx< 6 \Leftrightarrow f(4)-f(2)<6 \Leftrightarrow f(2)>f(4)-6.}$

Το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη $C_{f'},$ τον άξονα x'x

και τις ευθείες με εξισώσεις x=-2

και

είναι μεγαλύτερο των 6 τετραγωνικών μονάδων, δηλαδή
$\displaystyle{\int_{-2}^4f'(x)dx> 6 \Leftrightarrow f(4)-f(-2)>6 \Leftrightarrow f(-2)<f(4)-6.}$

Συνεπώς:
$\displaystyle{\displaystyle{f(-2)<f(4)-6<f(2) \Leftrightarrow 2f(-2)<2f(4)-12<2f(2) \Leftrightarrow }}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2f(-2)-4<2f(4)-16<2f(2)-4 \Leftrightarrow g(-2)<g(4)<g(2).}$

#3

Η προσέγγιση του Λευτέρη είναι σωστή .
Η λύση μπορεί να απλουστευθεί αν εκμεταλλευτούμε πλήρως το σχήμα .

#4

exdx έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 28, 2020 2:53 pm
Integral.png
Στο σχήμα βλέπετε τη γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης $\displaystyle f$ .
Έστω $\displaystyle g(x)=2f(x)-{{x}^{2}}$ . Να βάλετε σε μια σειρά τους αριθμούς $\displaystyle g(-2),g(2),g(4)$

…Καλησπέρα στο Γιώργη με τα ωραία του…

αν έχω καταλάβει την σκέψη του δημιουργού παραγωγίζοντας την την $\displaystyle g(x)=2f(x)-{{x}^{2}}$ έχουμε

${g}'(x)=2({f}'(x)-x)>0,\,\,x\in (-2,2)$ άρα η

γνήσια αύξουσα στο [-2,2]

και ${g}'(x)=2({f}'(x)-x)<0,\,\,x\in (2,4)$ άρα η

γνήσια φθίνουσα στο [2,4]

επομένως το

g(2)

είναι το μέγιστο για τη

στο

Τώρα για τα ελάχιστα $g(-2),\,g(4)$ εδώ δεν μπορώ να δώ

απλούστερη αντιμετώπιση…έτσι προς το παρόν μένει του Λευτέρη….είδομεν…

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ksofsa · #5

Καλησπέρα σε όλους!

Θεωρώ την ευθεία y=x

Είναι

.

Είναι $\int_{-2}^{2}g'(x)dx=2\int_{-2}^{2}(f'(x)-x)dx> 0$ , αφού το σχετικό χωρίο πάνω από την ευθεία y=x

.

Άρα

.

Είναι $\int_{2}^{4}g'(x)dx=2\int_{2}^{4}(f'(x)-x)dx< 0$ , αφού το σχετικό χωρίο κάτω από την ευθεία y=x

.

Άρα

.

Είναι $\int_{-2}^{4}g'(x)dx=\int_{-2}^{2}g'(x)dx+\int_{2}^{4}g'(x)dx> 0$ , αφού το αλγεβρικό άθροισμα των δύο προηγούμενων χωρίων είναι ,

όπως παρατηρούμε με το μάτι, θετικό.

Άρα g(4)> g(-2)

.

Τελικά g(2)> g(4)> g(-2)

.

Πολύ ωραία άσκηση!

Διάταξη τιμών

Διάταξη τιμών

Re: Διάταξη τιμών

Re: Διάταξη τιμών

Re: Διάταξη τιμών

Re: Διάταξη τιμών

Μέλη σε σύνδεση