Δημιουργία επαφής

KARKAR · #1

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης : $f(x)=a-\dfrac{x^2}{4a}$ τέμνει τον x'x

στα σημεία B , C

. Οι εφαπτόμενες

της καμπύλης στα B , C

τέμνονται στο σημείο

. Σε τυχόν σημείο

του τμήματος

, υψώνω την κάθετη ,

η οποία τέμνει την καμπύλη στο

. Οι μεσοκάθετοι των BS , SC

τέμνουν τις AB , AC

στα σημεία L , N

αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα σημεία L , P , N

, είναι συνευθειακά και μάλιστα το

είναι σημείο επαφής .

#2

Θα κάνουμε χρήση της επόμενης πρότασης που είναι ισοδύναμη της ανακλαστικης ιδιότητας:

Έστω

σημείο παραβολής διαφορετικό της κορυφής της, B '

η προβολή του

στην διευθετούσα και

η εστία της παραβολής.
Η εφαπτομένη της παραβολής στο

είναι μεσοκάθετος του EB'.

Στο θέμα μας. Από το

φέρουμε την LPN

εφαπτομένη της παραβολής.
Αν B', P', L'

είναι οι προβολές των B, P, L

στη διευθετούσα, αρκεί να δείξουμε ότι η LL'

είναι μεσοκάθετος της BS.

Από την παραπάνω πρόταση το

είναι το περίκεντρο του τριγώνου EB'P'

, οπότε η

είναι μεσοκάθετος του B'P'

, επομένως B'L'=L'P'

και επειδή B'L'//BS

η

είναι μεσοκάθετος του BS.

κ.λπ.