Τι συνεπάγεται για τη παράγωγο;

[Tolaso J Kos]

Έστω διάστημα και παραγωγίσιμη και κοίλη συνάρτηση. Ποια είναι η μονοτονία της ; Είναι απλά φθίνουσα ή γνησίως φθίνουσα;


Έχω άποψη για το ερώτημα, αλλά θέλω να ακούσω και τις γνώμες σας.

[stranger]

Έστω διάστημα και παραγωγίσιμη και κοίλη συνάρτηση. Ποια είναι η μονοτονία της ; Είναι απλά φθίνουσα ή γνησίως φθίνουσα;


Έχω άποψη για το ερώτημα, αλλά θέλω να ακούσω και τις γνώμες σας.

Είναι φθίνουσα. Όχι κατανάγκην γνησίως.
Αν είναι γνησίως κοίλη τότε είναι κατανάγκην γνησίως φθίνουσα η παράγωγος.
Μάλιστα είναι ισοδυναμία.
Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι (γνησίως) κοίλη αν και μόνο αν η παράγωγος είναι (γνησίως) φθίνουσα.

[abgd]

Έστω διάστημα και παραγωγίσιμη και κοίλη συνάρτηση. Ποια είναι η μονοτονία της ; Είναι απλά φθίνουσα ή γνησίως φθίνουσα;


Έχω άποψη για το ερώτημα, αλλά θέλω να ακούσω και τις γνώμες σας.

Η ερώτηση είναι σε φάκελο που αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο,

Σύμφωνα με τον ορισμό που δίνει το σχολικό βιβλίο η είναι γνησίως φθίνουσα.

[Tolaso J Kos]

Έστω διάστημα και παραγωγίσιμη και κοίλη συνάρτηση. Ποια είναι η μονοτονία της ; Είναι απλά φθίνουσα ή γνησίως φθίνουσα;


Έχω άποψη για το ερώτημα, αλλά θέλω να ακούσω και τις γνώμες σας.

Η ερώτηση είναι σε φάκελο που αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο,

Σύμφωνα με τον ορισμό που δίνει το σχολικό βιβλίο η είναι γνησίως φθίνουσα.

Δεν λέει αυτό ο ορισμός. Παραθέτω τον ορισμό όπως το δίδει το σχολικό.

Στιγμιότυπο από 2024-01-28 11-51-30.png (61.25 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές

Στον ορισμό υπάρχει αν και όχι τότε. Η άποψή μου συγκλίνει με του stranger (Κώστα).

[giannispapav]

Πολλές φορές στους ορισμούς χρησιμοποιούμε το "αν" αντί του "αν και μόνο αν". Έτσι, για το σχολικό βιβλίο (αλλά όχι για όλα τα βιβλία) αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του τότε η είναι κυρτή στο αν εξ ορισμού (ή, αν και μόνο αν) η είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του .

Αυτό συμβαίνει και με τους υπόλοιπους ορισμούς φυσικά. Για παράδειγμα, σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο, μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το και είναι πραγματικός αριθμός. Ο ορισμός δεν λέει αν και μόνο αν, αλλά, όπως είναι φυσικό, αν η είναι παραγωγίσιμη στο , τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι υπάρχει το και είναι πραγματικός αριθμός.

[stranger]

Μπορεί να είναι χιλιοσυζητημένο αλλά δεν καταλαβαίνω γιατί δημιουργούν τέτοια σύγχυση στους μαθητές δίνοντας διαφορετικό ορισμό της κυρτότητας από τον πραγματικό.
Όπως είπα και παραπάνω θα μπορούσαν να δώσουν τον ορισμό ότι η παράγωγος είναι αύξουσα που είναι ισοδύναμο με την κυρτότητα στην περίπτωση που η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε διάστημα.
Επίσης θα μπορούσε να αναφερθεί ο πραγματικός ορισμός της κυρτότητας. Μια ανισότητα είναι, δεν είναι ιδιαίτερα δύσπεπτο για τους μαθητές.
Ειλικρινά δεν καταλαβαίνω..

[stranger]

Πολλές φορές στους ορισμούς χρησιμοποιούμε το "αν" αντί του "αν και μόνο αν". Έτσι, για το σχολικό βιβλίο (αλλά όχι για όλα τα βιβλία) αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του τότε η είναι κυρτή στο αν εξ ορισμού (ή, αν και μόνο αν) η είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του .

Αυτό συμβαίνει και με τους υπόλοιπους ορισμούς φυσικά. Για παράδειγμα, σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο, μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το και είναι πραγματικός αριθμός. Ο ορισμός δεν λέει αν και μόνο αν, αλλά, όπως είναι φυσικό, αν η είναι παραγωγίσιμη στο , τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι υπάρχει το και είναι πραγματικός αριθμός.

Οι ορισμοί είναι πάντα αν και μόνο αν.

[abgd]

Δεν είναι ο κατάλληλος φάκελος για μια τέτοια συζήτηση που μπορεί να αποπροσανατολίσει τους μαθητές.

Προφανώς ο ορισμός μιας έννοιας εμπεριέχει το αν και μόνο αν, άσχετα αν το σχολικό βιβλίο δεν το αναφέρει.
Οι μαθητές διδάσκονται, από τον καθηγητή τους, σωστά τον ορισμό.
Οποιονδήποτε μαθητή ρωτήσουμε τι θα συμπεράνει από το δεδομένο της κυρτότητας μιας παραγωγίσιμης σε διάστημα συνάρτησης,
θα μας απαντήσει - και καλά θα κάνει - ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα.

Για το αν είναι καλά γραμμένο το βιβλίο και τι θα μπορούσε να γίνει καλύτερα είναι μια συζήτηση που μπορούμε να κάνουμε αλλά,
ας θέσουμε το θέμα σε κάποιο άλλο φάκελο για να εκφράσουμε τις απόψεις και να δώσουμε τις προτάσεις μας.

[stranger]

Οι μαθητές διδάσκονται, από τον καθηγητή τους, σωστά τον ορισμό.
Οποιονδήποτε μαθητή ρωτήσουμε τι θα συμπεράνει από το δεδομένο της κυρτότητας μιας παραγωγίσιμης σε διάστημα συνάρτησης,
θα μας απαντήσει - και καλά θα κάνει - ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη

Επιτρέψτε μου να διαφωνήσω.
Αλλά από ότι γράψατε δεν επιθυμείτε κάποια συζήτηση επί του θέματος οπότε δεν θα επεκταθώ.

[Tolaso J Kos]

Πολλές φορές στους ορισμούς χρησιμοποιούμε το "αν" αντί του "αν και μόνο αν". Έτσι, για το σχολικό βιβλίο (αλλά όχι για όλα τα βιβλία) αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του τότε η είναι κυρτή στο αν εξ ορισμού (ή, αν και μόνο αν) η είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του .

Στη προκειμένη περίπτωση, έτσι όπως γράφεται ο ορισμός δε θα μπορούσε να υπάρχει αν και μόνο αν. Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι π.χ κοίλη (είναι βεβαίως και κυρτή) αλλά η δεν είναι γνησίως μονότονη, αλλά απλά μονότονη.


Άρα, μήπως τελικά ο ορισμός που δίδει το σχολικό δεν είναι ορισμός αλλά θεώρημα;

Δεν είναι ο κατάλληλος φάκελος για μια τέτοια συζήτηση που μπορεί να αποπροσανατολίσει τους μαθητές.

Θα διαφωνήσω.

[stranger]

Στη προκειμένη περίπτωση, έτσι όπως γράφεται ο ορισμός δε θα μπορούσε να υπάρχει αν και μόνο αν. Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι π.χ κοίλη (είναι βεβαίως και κυρτή) αλλά η δεν είναι γνησίως μονότονη, αλλά απλά μονότονη.
Άρα, μήπως τελικά ο ορισμός που δίδει το σχολικό δεν είναι ορισμός αλλά θεώρημα;

Τόλη, έχεις δίκιο ότι η συγκεκριμένη συνάρτηση είναι κυρτή(και κοίλη) σύμφωνα με τον σωστό ορισμό της κυρτότητας, όμως δεν θα μπορούσε να μην είναι αν και μόνο αν αφού το σχολικό γράφει ορισμός από πάνω.
Πρόκεται απλά για διαφορετικό ορισμό της κυρτότητας που δίνει το σχολικό.
edit: Αυτό που ορίζει το σχολικό είναι η γνησίως κυρτή συνάρτηση(υπό κάποιες προυποθέσεις πάντα).

[Tolaso J Kos]

Τόλη, έχεις δίκιο ότι η συγκεκριμένη συνάρτηση είναι κυρτή(και κοίλη) σύμφωνα με τον σωστό ορισμό της κυρτότητας, όμως δεν θα μπορούσε να μην είναι αν και μόνο αν αφού το σχολικό γράφει ορισμός από πάνω.
Πρόκεται απλά για διαφορετικό ορισμό της κυρτότητας που δίνει το σχολικό.

Κώστα, δε θεωρώ το σχολικό βιβλίο Ευαγγέλιο. Αν μη τι άλλο έχει ένα σωρό ατέλειες και ... θολά σημεία. Το ερώτημα μου ξεκίνησε από μία άσκηση που λέει ότι "Αν η κοίλη, ..." και στη λύση θεωρεί ότι εφόσον η κοίλη τότε η γνησίως φθίνουσα. Να σου πω την αλήθεια, δε μου κάθεται καθόλου καλά.

[stranger]

Κώστα, δε θεωρώ το σχολικό βιβλίο Ευαγγέλιο. Αν μη τι άλλο έχει ένα σωρό ατέλειες και ... θολά σημεία.

Ούτε εγώ σε καμία περίπτωση. Θα το έχεις καταλάβει και από τις προηγούμενες αναρτήσεις μου.
Δίνει έναν διαφορετικό ορισμό της κυρτότητας.ΟΚ.
Με λίγα λόγια την γνησίως κυρτή την λέει κυρτή κατά κάποιο τρόπο.

[abgd]

Συνάδελφοι, δεν διαφωνώ μαζί σας, ούτε λέω ότι το σχολικό βιβλίο έχει μια πλήρη μαθηματική θεωρία της ανάλυσης.
Πρέπει όμως να διδάξουμε στους μαθητές μας την ύλη του με τους κανόνες της μαθηματικής λογικής.
Όταν δηλαδή το βιβλίο μας λέει ότι αυτός είναι ο ορισμός της κυρτής - κοίλης συνάρτησης, εμείς οφείλουμε αυτό να το διδάξουμε ως ορισμό.
Έχουμε κάθε δικαίωμα βέβαια, πράγμα που κάνουμε και εδώ, να αναφέρουμε ότι ο ορισμός αυτός δεν είναι ακριβής ή είναι ελλιπής και έναν πιο ακριβή ορισμό θα συναντήσουν στις σχολές της ανώτατης εκπαίδευσης.

[giannispapav]

Πολλές φορές στους ορισμούς χρησιμοποιούμε το "αν" αντί του "αν και μόνο αν". Έτσι, για το σχολικό βιβλίο (αλλά όχι για όλα τα βιβλία) αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του τότε η είναι κυρτή στο αν εξ ορισμού (ή, αν και μόνο αν) η είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του .

Στη προκειμένη περίπτωση, έτσι όπως γράφεται ο ορισμός δε θα μπορούσε να υπάρχει αν και μόνο αν. Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι π.χ κοίλη (είναι βεβαίως και κυρτή) αλλά η δεν είναι γνησίως μονότονη, αλλά απλά μονότονη.


Άρα, μήπως τελικά ο ορισμός που δίδει το σχολικό δεν είναι ορισμός αλλά θεώρημα;

Δεν είναι ο κατάλληλος φάκελος για μια τέτοια συζήτηση που μπορεί να αποπροσανατολίσει τους μαθητές.

Θα διαφωνήσω.

Σύμφωνα με τον ορισμό του σχολικού η συγκεκριμένη συνάρτηση δεν είναι ούτε κοίλη, ούτε κυρτή. Σύμφωνα με κάποιον άλλο ορισμό είναι και κοίλη και κυρτή. Ο ορισμός είναι απλά μια σύμβαση για το τι θα σημαίνει η λέξη κυρτή (αντίστοιχα κοίλη). Δεν ξέρω τι σημαίνει η φράση "σωστός ορισμός" που αναφέρει ο stranger (με όλο το σεβασμό). Θα μπορούσαμε να πούμε ότι δεν είναι ο συνήθης ορισμός ή ότι δεν είναι ένας χρήσιμος ορισμός. Παρ' όλα αυτά είναι ένας ορισμός που δεν προκαλεί σύγχυση για το πότε μια συνάρτηση θα λέγεται κυρτή και πότε όχι.

[stranger]

Σύμφωνα με τον ορισμό του σχολικού η συγκεκριμένη συνάρτηση δεν είναι ούτε κοίλη, ούτε κυρτή. Σύμφωνα με κάποιον άλλο ορισμό είναι και κοίλη και κυρτή. Ο ορισμός είναι απλά μια σύμβαση για το τι θα σημαίνει η λέξη κυρτή (αντίστοιχα κοίλη). Δεν ξέρω τι σημαίνει η φράση "σωστός ορισμός" που αναφέρει ο stranger (με όλο το σεβασμό). Θα μπορούσαμε να πούμε ότι δεν είναι ο συνήθης ορισμός ή ότι δεν είναι ένας χρήσιμος ορισμός. Παρ' όλα αυτά είναι ένας ορισμός που δεν προκαλεί σύγχυση για το πότε μια συνάρτηση θα λέγεται κυρτή και πότε όχι.

Όταν λέω σωστός ορισμός εννοώ τον ορισμό που δέχεται η μαθηματική κοινότητα και είναι ευρέως αποδεκτός στα μαθηματικά στις μέρες μας.
Ναι δεν διαφωνώ, απλά μετά ίσως δημιουργηθεί σύγχυση στους μαθητές που θέλουν να ασχοληθούν με τα μαθηματικά παραπάνω από το σχολικό πλαίσιο.

[nsmavrogiannis]

Έστω διάστημα και παραγωγίσιμη και κοίλη συνάρτηση. Ποια είναι η μονοτονία της ; Είναι απλά φθίνουσα ή γνησίως φθίνουσα;


Έχω άποψη για το ερώτημα, αλλά θέλω να ακούσω και τις γνώμες σας.

Η ερώτηση είναι σε φάκελο που αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο,

Σύμφωνα με τον ορισμό που δίνει το σχολικό βιβλίο η είναι γνησίως φθίνουσα.

Η γνώμη μου είναι ότι ο συνάδελφος abgd έχει δίκιο. Ο σχολικός ορισμός είναι "θέσφατο" όταν μιλάμε σε σχολικό επίπεδο. Οι "μεγάλοι" μπορούν να συνεννοηθούν με διαφορετικούς ορισμούς. Ζητούν-δίνουν διευκρινήσεις και τελειώνει το θέμα. Όμως με τους μαθητές μας τα πράγματα είναι διαφορετικά. Γιατί τώρα κάνουν το μαθηματικό τους ξεκίνημα. Έχουν ήδη αρκετές δυσκολίες κατανόησης και δεν υπάρχει λόγος να προστεθούν και άλλες σχετικές με την ονοματολογία.
Στο κάτω κάτω ο ορισμός είναι το όνομα για τα στοιχεία μιας κλάσης σε σχέση με μια ιδιότητα. Και τα ονόματα αλλάζουν.
Εξ άλλου η μαθηματική κοινότητα δεν έχει πετύχει μια ενιαία ορολογία για πλείστες βασικές έννοιες. Θα ήταν άχαρο να αναφερθούν μερικές αλλά θα ήθελα να θυμίσω ότι ακόμη και για τις κυρτές συναρτήσεις έγκριτοι συγγραφείς διαφορποιούνται ως προς τον ορισμό. Απ όσο ξέρω ο οεισμός του σχολικού έχει τις ρίζες του στν Johan Bernoulli ενώ κατά την γνώμη μου ο βέλτιστος ορισμός μας έρχεται από τον Αρχιμήδη.

[S.E.Louridas]

Καλημέρα - καλημέρα.
Ας μου επιτραπεί να καταθέσω μία άποψη. Καταρχάς ξεκινώ από τη διαπίστωση ότι ο παραπάνω μαθηματικός διάλογος που προηγήθηκε είναι άριστου επιστημονικού επιπέδου. Επειδή, όπως ήδη αναφέρθηκε, αναφερόμαστε σε Μαθητές και μάλιστα σε εκείνους που έχουν θετικό προσανατολισμό, καλό είναι να λάβουμε υπόψη ότι κινούμαστε σε περιβάλλον "συμβολιστικών μαθηματικών". Αυτό σημαίνει ότι για να γίνει κατανοητή σε βάθος μία μαθηματική έννοια στην εκκίνηση της θα πρέπει να έχουμε συνύπαρξη της λογικής με την οπτική των πραγμάτων κατάσταση. Έτσι πιθανόν να "πειραχτούν" κάποιοι ορισμοί αλλά με τίποτα μα με τίποτα δεν θα πρέπει να χαθεί ο στόχος για κατανόηση στη συνέχεια της αυστηρότερης αντίληψης του ορισμού. Θα πρέπει λοιπόν το "πείραγμα" αυτό (τα εισαγωγικά σε πλήρη λειτουργία) να μην οδηγεί στη παραμικρή αλλοίωση, άλλο απλοποίηση για διδακτικούς λόγους και άλλο περιβάλλον αλλοίωσης. Οι ορισμοί από τη στιγμή που δίνονται αποτελούν κατά κάποιο τρόπο αξιώματα εκκίνησης για την παραπέρα ενασχόληση, με βάση τους κανόνες, τελικά, της μαθηματικής λογικής. Ας μην ξεχνάμε ότι από το θεώρημα της μη πληρότητας του Kurt Gödel αναγόμαστε στο συμπέρασμα ότι για να δημιουργηθεί μία θεωρία χρειαζόμαστε τουλάχιστον ένα αξίωμα. Άρα αν το σχολικό δίνει μία απλή αρχική εκδοχή ενός ορισμού (υποτίθεται ότι είναι αποτέλεσμα ενδελεχούς υπεύθυνης μελέτης) που δεν αλλοιώνει αλλά θα αποτελεί βάση εκκίνησης για την σε αργότερα κατανόηση του αυστηρότερου ορισμού, θα πρέπει να τον αποδεχτούμε, ώστε να μην δημιουργήσουμε "συγκρουσιακή" εντός του μυαλού του μαθητή σύγχυση.