mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 11, 2023 8:39 pm**

Στην παράγραφο όπου δίνονται οι πρώτες παράγωγοι των βασικών συναρτήσεων δίνεται ότι $(e^{x})'=e^{x}$ και (lnx)'=1/x

και αργότερα με την βοήθεια της πρώτης αποδεικνύεται ότι $(a^{x})'=a^{x}lna$ η οποία υπολογίζεται με τον τύπο της σύνθετης, ενώ την παράγωγο της log με βάση α δεν την συναντάμε πουθενά. Στην παράγραφο όμως με τα όρια (βασικών) συναρτήσεων στο άπειρο, ως βασικές δίνονται οι γενικές $a^{x}$ και $\log _{a}x$ . Είναι λοιπόν η $e^{x}$ βασική έναντι της $a^{x}$ ; Τέλος, τα όρια των $\log _{a}x$ και $a^{x}$ αποδεικνύονται με την βοήθεια των ορίων των $e^{x}$ και lnx

;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 11, 2023 9:42 pm**

Πετρακας έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 11, 2023 8:39 pm
... την παράγωγο της log με βάση α δεν την συναντάμε πουθενά.

Ας απαντήσω με υπόδειξη για να έχεις την χαρά να αποδείξεις μόνος σου όσα ρωτάς. Για παράδειγμα η παράγωγος την $\log _ax$ βγαίνει αμέσως από την ισότητα

$\log _a x = \dfrac { \log _ex}{ \log _ea}$

Θα χαρούμε να δούμε εδώ πώς συνέχισες.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 15, 2023 4:22 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 11, 2023 9:42 pm

Πετρακας έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 11, 2023 8:39 pm
... την παράγωγο της log με βάση α δεν την συναντάμε πουθενά.
Ας απαντήσω με υπόδειξη για να έχεις την χαρά να αποδείξεις μόνος σου όσα ρωτάς. Για παράδειγμα η παράγωγος την $\log _ax$ βγαίνει αμέσως από την ισότητα

$\log _a x = \dfrac { \log _ex}{ \log _ea}$

Θα χαρούμε να δούμε εδώ πώς συνέχισες.

Εφαρμόζοντας τον κανόνα πηλίκου έχουμε (1/lna)(lnx)'=1/(xlna)

. Την βρήκα και με την χρήση του ορισμού (log_a(x+h)-log_ax)/h=..=log_a(1+h/x)/h

άρα αν θέσουμε όπου h/x το t και πάρουμε το όριο καθώς το t τείνει στο 0 έχουμε το ζητούμενο. Πώς προκύπτει, όμως, το $\lim_{x\rightarrow inf}a^x$
και $\lim_{x\rightarrow c}a^x$ δεν το έχω βρει ακόμα.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 15, 2023 5:26 pm**

Πετρακας έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 15, 2023 4:22 pm
Πώς προκύπτει, όμως, το $\lim_{x\rightarrow inf}a^x$
και $\lim_{x\rightarrow c}a^x$ δεν το έχω βρει ακόμα.

Tέτοια θέματα πρέπει να μπορείς να τα βγάζεις μόνος σου, ιδίως αφού ήδη έλαβες μία ουσιαστική υπόδειξη.

Κάνω άλλη μία προσπάθεια: $a^x = e^{x\ln a}$ .

Αφού εξηγήσεις γιατί είναι σωστό αυτό, συνέχισε να βρεις την παράγωγο.

mathematica.gr

Παράγωγος Βασικών Συναρτήσεων

Παράγωγος Βασικών Συναρτήσεων

Re: Παράγωγος Βασικών Συναρτήσεων

Re: Παράγωγος Βασικών Συναρτήσεων

Re: Παράγωγος Βασικών Συναρτήσεων