Μέγιστο εμβαδόν εγγεγραμμένου τραπεζίου

#1

Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδόν που μπορεί να έχει ένα τραπέζιο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας

και του οποίου μια από τις βάσεις του είναι διάμετρος του κύκλου.

S.E.Louridas · #2

Απλά μία σκέψη εκκίνησης σε απόκρυψη:
Αν η μικρή βάση του τραπεζίου (ισοσκελούς) είναι

και το ύψος του

, τότε παίρνουμε: $\displaystyle{h^2=\frac{2R-x}{2}\left ( 2R-\frac{2R-x}{2} \right )=\frac{2R-x}{2}\cdot \frac{2R+x}{2} ...}$

edit: Άρση της απόκρυψης μετά από την επίλυση από τον Γιώργο.

#3

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 05, 2023 5:13 am
Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδόν που μπορεί να έχει ένα τραπέζιο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας και του οποίου μια από τις βάσεις του είναι διάμετρος του κύκλου.

Έστω

η διάμετρος του κύκλου,

το ύψος και CD=2x

η μικρή βάση του τραπεζίου.

: Μέγιστο εμβαδόν τραπεζίου.Γ.png (15.17 KiB) Προβλήθηκε 1013 φορές

$\displaystyle (ABCD) = \frac{{AB + CD}}{2}h \Leftrightarrow E(x) = (ABCD) = (R + x)\sqrt {{R^2} - {x^2}} ,0 < x < R$

$\displaystyle E'(x) = - \frac{{2{x^2} + Rx - {R^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {x^2}} }} = \frac{{(R + x)(R - 2x)}}{{\sqrt {{R^2} - {x^2}} }},$ οπότε η

παρουσιάζει για $\boxed{x=\frac{R}{2}}$ μέγιστη

τιμή ίση με $\boxed{E\left( {\frac{R}{2}} \right) = \frac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4}}$ που είναι και το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου.

ksofsa · #4

Καλημέρα.

Μια παρατήρηση: Το μέγιστο ισχύει για κάθε τετράπλευρο με πλευρά τη διάμετρο.Πράγματι, θεωρώντας το συμμετρικό τετράπλευρο ως προς τη διάμετρο, έχουμε ένα 6-γωνο, του οποίου μεγιστοποιείται το εμβαδόν όταν είναι κανονικό 6-γωνο.

Γενικά, ισχύει ότι το n-γωνο που είναι εγγεγραμμένο σε δεδομένο κύκλο μεγιστοποιεί το εμβαδόν του όταν είναι το κανονικό n-γωνο.

Μια απόδειξη θα μπορούσε να είναι η εξής:

Έστω $A_{1}A_{2}...A_{n}$ το n-γωνο. Για σταθερά σημεία $A_{2},...,A_{_n}$ , το εμβαδό μεγιστοποιείται όταν το $A_{1}$ μέσο του τόξου $A_{n}A_{2}$ . Έστω $S_{1}$ το σύνολο των n-γώνων με αυτήν την ιδιότητα, και όμοια τα $S_{2},...,S_{n}$ .

Το n-γωνο με το μέγιστο εμβαδόν είναι το n-γωνο που ανήκει στην τομή όλων αυτών των συνόλων , δηλαδή το κανονικό n-γωνο.

Μέγιστο εμβαδόν εγγεγραμμένου τραπεζίου

Μέγιστο εμβαδόν εγγεγραμμένου τραπεζίου

Re: Μέγιστο εμβαδόν εγγεγραμμένου τραπεζίου

Re: Μέγιστο εμβαδόν εγγεγραμμένου τραπεζίου

Re: Μέγιστο εμβαδόν εγγεγραμμένου τραπεζίου

Μέλη σε σύνδεση