Άκαμπτη

KARKAR · #1

: Άκαμπτη.png (9.54 KiB) Προβλήθηκε 1003 φορές

Για την συνάρτηση : $f(x)=e^\frac{1}{x} \ell nx$ : α) Δείξτε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο της $C_{f}$ ,

στο οποίο αν φέρουμε την εφαπτομένη , αυτή διέρχεται από την αρχή των αξόνων .

β) Εξηγήστε γιατί η $C_{f}$ δεν έχει σημεία καμπής .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 08, 2023 8:13 am
Για την συνάρτηση : $f(x)=e^\frac{1}{x} \ell nx$ : α) Δείξτε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο της $C_{f}$ ,

στο οποίο αν φέρουμε την εφαπτομένη , αυτή διέρχεται από την αρχή των αξόνων .

β) Εξηγήστε γιατί η $C_{f}$ δεν έχει σημεία καμπής .

$f(x) = {e^{\frac{1}{x}}}\ln x$ με προφανώς , x > 0

. Προκύπτουν για κάθε x > 0

:

$f'\left( x \right) = {e^{\frac{1}{x}}}\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}} \right) = {e^{\frac{1}{x}}}\dfrac{{x - \ln x}}{{{x^2}}}$ κι επειδή $\ln x \leqslant x - 1 < x \Rightarrow x - \ln x > 0$ και άρα

η $f'\left( x \right) > 0\,\,,\,\,x > 0$ οπότε η συνάρτηση

είναι γνήσια αύξουσα .

Έστω ${x_0} > 0$ , η εφαπτομένη της ${C_f}$ στο $A\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ έχει εξίσωση :

$y = f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)$ οπότε αν διέρχεται από την αρχή $O\left( {0,0} \right)$ θα επαληθεύεται απ’ αυτό .

Δηλαδή : $f\left( {{x_0}} \right) - {x_0}f'\left( {{x_0}} \right) = 0$ . Θεωρώ τη συνάρτηση : $g:\left( {0, + \infty } \right) \to \mathbb{R}$ με

$g(x) = f\left( x \right) - xf'\left( x \right) = {e^{\frac{1}{x}}}\left( {\left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} \right)\ln x - 1} \right)\,\,\,\left( 1 \right)$ .

Είναι $g'\left( x \right) = {e^{\frac{1}{x}}}\left( {\dfrac{{x\left( {x + 2} \right) - \left( {2x + 1} \right)\ln x}}{{{x^2}}}} \right)\,\,\,\left( 2 \right)$

Επειδή : $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g\left( x \right) = - \infty \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = + \infty$ η

έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ , οπότε υπάρχει a > 0

με

.

Θα δείξω ότι το

, είναι μοναδικό . Αν υποθέσω ότι υπάρχει και $b > 0\,$ με π.χ. 0 < a < b

και

τότε,

από το Θ. Rolle

για την

στο $\left[ {a,b} \right]$ προκύπτει ότι υπάρχει $\xi \in \left( {a,b} \right)$ με $g'\left( \xi \right) = 0$ .

Δηλαδή λόγω της $\left( 2 \right)$ η συνάρτηση , $T\left( x \right) = x\left( {x + 2} \right) - \left( {2x + 1} \right)\ln x$ έχει ρίζα .

Θα δείξω ότι αυτό είναι αδύνατο . Πράγματι , $T'\left( x \right) = 2x - \dfrac{1}{x} - 2\ln x\,$ . Επίσης

$T\left( 1 \right) = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T'\left( 1 \right) = 1$ . Η εφαπτομένη της ${C_T}$ στο σημείο της $\left( {1,3} \right)$ έχει εξίσωση ;

$y - 3 = \left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow y = x + 2\,\,\,\left( 3 \right)$ . Και $T''\left( x \right) = \dfrac{{2{x^2} - 2x + 1}}{{{x^2}}} > 0$ ,

οπότε η ${C_T}$ είναι κυρτή με άμεση συνέπεια : $T\left( x \right) \geqslant x + 2 > 2 > 0\,\,,x > 0$
Δηλαδή η εξίσωση $T\left( x \right) = 0$ είναι αδύνατη συνεπώς το

για το οποίο $g\left( a \right) = 0$

είναι μοναδικό και άρα υπάρχει ακριβώς μι εφαπτομένη της ${C_f}$ που διέρχεται από την αρχή των αξόνων

β)

: akamti_1.png (11.41 KiB) Προβλήθηκε 913 φορές

Επειδή : $\boxed{4f''\left( x \right) = {e^{\frac{1}{x}}}\left( { - T\left( x \right)} \right) \Rightarrow f''\left( x \right) = \dfrac{{{e^{\frac{1}{x}}}}}{{{x^4}}}\left( { - T\left( x \right)} \right)}$

και από το

ερώτημα η ${C_T}$ είναι κυρτή στο $\left( {0, + \infty } \right)$ άρα η ${C_f}$ είναι κοίλη στο διάστημα αυτό , επομένως δεν έχει σημεία καμπής .

Άκαμπτη

Άκαμπτη

Re: Άκαμπτη

Μέλη σε σύνδεση