Μονοτονία παραγώγου σε κλειστό διάστημα

alex23 · #1

Καλημέρα σε όλους και καλώς σας βρήκα!

Θα ήθλεα τη βόηθειά σας στο παρακάτω, καθώς δεν μπορώ να βρω τι μου διαφεύγει.

Για συνάρτηση $f:\left [ 0, +\infty \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη και κοίλη, με $\displaystyle{f '(0) = 0}$ (και $\displaystyle{f(x) > 0}$ ), μπορούμε να συμπεράνουμε ότι $\displaystyle{f '(x) < 0}$ για $\displaystyle{x > 0}$ ;

Σύμφωνα με το σχολικό, η

είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του διαστήματος. Πώς μπορούμε να ξεπεράσουμε το εμπόδιο και να συγκρίνουμε με το f'(0)

;

Ευχαριστώ πολύ!

Update Επειδή τώρα κατάλαβα πώς μπορώ να ανεβάσω φωτο, επισυνάπτω την άσκηση-εμπνευση της απορίας.
Και πάλι ευχαριστώ.

abgd · #2

alex23 έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 19, 2023 12:58 pm
Καλημέρα σε όλους και καλώς σας βρήκα!

Θα ήθλεα τη βόηθειά σας στο παρακάτω, καθώς δεν μπορώ να βρω τι μου διαφεύγει.

Για συνάρτηση $f:\left [ 0, +\infty \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη και κοίλη, με $\displaystyle{f '(0) = 0}$ (και $\displaystyle{f(x) > 0}$ ), μπορούμε να συμπεράνουμε ότι $\displaystyle{f '(x) < 0}$ για $\displaystyle{x > 0}$ ;

Δεν μπορούμε!

Αν έχουμε μια κοίλη συνάρτηση $f:\left [ 0, +\infty \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ και κάποιο $\displaystyle{ f'(a)<0}$ τότε,
εφόσον $\displaystyle{f(x)\leq f'(a)(x-a)+f(a)}$ , θα είναι:

$\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}{f(x)=-\infty}$

και έτσι η συνάρτηση θα έχει και αρνητικές τιμές.

Ακόμη, δεν γίνεται ούτε $\displaystyle{ f'(x)\geq 0 \ \ \forall x \in [0,+\infty)}$ γιατί τότε

η συνάρτηση θα ήταν αύξουσα άρα $\displaystyle{f(x)\geq f (0)\ \ \forall x\geq 0}$ .

Είναι όμως και κοίλη με $\displaystyle{f '(0) = 0}$ οπότε $\displaystyle{f(x)\leq f (0) \ \ \forall x>0}$

Άρα $\displaystyle{f(x)=f (0) \ \ \forall x\geq0}$ !!!

Υ.Γ.: Αν είχαμε... "Για συνάρτηση $f:\left [ 0, +\infty \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη και κοίλη, με $\displaystyle{f '(0) = 0}$ (και $\displaystyle{\color{red}f(x) < 0}$ )" ,

τότε μπορούμε να συμπεράνουμε $\displaystyle{f '(x) < 0}$ για $\displaystyle{x > 0}$ .

abgd · #3

Να δώσω μία λεπτομερή απόδειξη στην παρακάτω πρόταση.

Αν η συνάρτηση $\displaystyle{f:[a,+\infty)\to \mathbb{R}}$ είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle{f'(a)=0}$ και κοίλη τότε:

α) $\displaystyle{f'(x)<0, \ \ \forall x>a}$

β) $\displaystyle{f\left([a,+\infty)\right)=\left(-\infty,f(a)\right]}$

Απόδειξη.

Αφού η $\displaystyle{f}$ είναι κοίλη, η γραφική της παράσταση είναι πιο κάτω από την εφαπτομένη της στο σημείο $\displaystyle{\left(a,f(a)\right)}$ :

$\displaystyle{f(x)\leq f'(a)(x-a)+f(a)=f(a), \ \ \forall x\geq a \ \ \bf (1)}$ , με την ισότητα να ισχύει μόνο για $\displaystyle{x=a}$ .

α) Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει $\displaystyle{k>a }$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f'(k)\geq 0}$ .

Αφού η $\displaystyle{f'}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{(a,+\infty)}$ θα είναι $\displaystyle{f'(x)>f'(k)\geq 0, \ \ \forall x\in (a,k)}$

Έτσι, η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ θα είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[a,k]}$ και θα ισχύει:

$\displaystyle{f(x)\geq f(a), \ \ \forall x\in [a,k]}$ και, από την $\displaystyle{\bf(1)}$ θα έχουμε: $\displaystyle{f(x)=f(a), \ \ \forall x\in [a,k]}$

Τότε όμως $\displaystyle{f'(x)=0, \ \ \forall x\in [a,k]}$ , δηλαδή η $\displaystyle{f'}$ σταθερή στο $\displaystyle{ [a,k]}$ το οποίο είναι άτοπο.

Άρα θα πρέπει $\displaystyle{f'(x)<0, \ \ \forall x>a}$

β) Η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{[a,+\infty) }$ οπότε $\displaystyle{f\left([a,+\infty)\right)=\left(\lim_{x\to +\infty}f(x),f(a)\right]}$

Αφού η $\displaystyle{f}$ είναι κοίλη για οποιονδήποτε αριθμό $\displaystyle{r\in (a,+\infty)\right)}$ είναι: $\displaystyle{f(x)\leq f'(r)(x-r)+f(r), \ \ \forall x\geq a }$ .

Όμως $\displaystyle{f'(r)<0}$ και έτσι $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\left(f'(r)(x-r)+f(r)\right)=-\infty}$

Άρα $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty}$ οπότε $\displaystyle{f\left([a,+\infty)\right)=\left(-\infty,f(a)\right]}$

alex23 · #4

Ευχαριστώ πολύ, abgd, για το χρόνο που αφιέρωσες και τη λεπτομερή ανάλυση!!!

abgd · #5

alex23 έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 19, 2023 12:58 pm
Επειδή τώρα κατάλαβα πώς μπορώ να ανεβάσω φωτο, επισυνάπτω την άσκηση-εμπνευση της απορίας.
Και πάλι ευχαριστώ.

Για να "σώσουμε" τις καλές ιδέες του θέματος προτείνω το παρακάτω:

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f:[0,+\infty)\to \mathbb{R}}$ παραγωγίσιμη, κοίλη με $\displaystyle{f(0)=f'(0)=0}$

A. Να δείξετε ότι $\displaystyle{\forall x \in (0,+\infty)}$ ισχύουν:

$\displaystyle{f'(x)<0}$

$\displaystyle{f(x)<0}$

Β. Αν $\displaystyle{F}$ η αρχική της $\displaystyle{f}$ για την οποία $\displaystyle{F(0)=0}$ , θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g:[0,+\infty)\to \mathbb{R}}$ με

$g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{F(x)}{x}, \ \ x>0 & \\ 0, \ \ \ x=0 & \end{matrix}\right.$

α. Να δείξετε ότι η $\displaystyle{g}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{x_0=0}$

β. Να μελετήσετε τη μονοτονία της $\displaystyle{g}$

γ. Να δείξετε ότι: $\displaystyle{f(x)<g(x)<0, \ \ \forall x>0}$

Μονοτονία παραγώγου σε κλειστό διάστημα

Μονοτονία παραγώγου σε κλειστό διάστημα

Re: Μονοτονία παραγώγου σε κλειστό διάστημα

Re: Μονοτονία παραγώγου σε κλειστό διάστημα

Re: Μονοτονία παραγώγου σε κλειστό διάστημα

Re: Μονοτονία παραγώγου σε κλειστό διάστημα

Μέλη σε σύνδεση