Σταθερή συνάρτηση

M.S.Vovos · #1

Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , ισχύει:
$\displaystyle{f^{2}(x)\left ( \left ( f'(x) \right )^{2}+\left ( f''(x) \right )^{2} \right )+\left ( f'(x) \right )^{2}\left ( 2f(x)f''(x)+\left ( f'(x) \right )^{2} \right )\leqslant 0}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

είναι σταθερή.

Φιλικά,
Μάριος

*Άλλαξε φάκελο (πιο κατάλληλος) και προστέθηκε ένας ξεχασμένος όρος.

dement · #2

Παρατηρούμε ότι για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ισχύει $f(x) f''(x) = 0 \implies f'(x) = 0$ . Επίσης, $f(x) f''(x) \leqslant 0$ για να ικανοποιείται η αρχική συνθήκη.

Έστω x_0

με $f'(x_0) \neq 0$ . Υποθέτουμε f(x_0) > 0, f'(x_0) < 0, f''(x_0) < 0

(οι άλλες 3 περιπτώσεις καλύπτονται όμοια).

Υπάρχει x > x_0

με

(γιατί δεν μπορεί η

να είναι αρνητική και γν. φθίνουσα στο $[x_0, + \infty)$ ενώ συγχρόνως η

παραμένει θετική). Έστω x_1

το ελάχιστο αυτών των

. Τότε ισχύει f(x_1) = 0, f'(x_1) < 0

που είναι άτοπο.

Άρα δεν υπάρχει x_0

με $f'(x_0) \neq 0$ και η

είναι σταθερή.

M.S.Vovos · #3

Πολύ ωραία! Υπάρχει και δεύτερη λύση. Αν δεν την "ανεβάσει" κάποιος θα το κάνω εγώ.

Φιλικά,
Μάριος

Σταθερή συνάρτηση

Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση