Διαφορι-Κούλα 60

mathxl · #1

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ με $\displaystyle{f\left( 0 \right) = 0}$ και τέτοια ώστε να ισχύει $\displaystyle{f'\left( x \right) + \frac{{5x}}{{1 + {x^2}}}f\left( x \right) = 5x}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ . Να βρείτε τον τύπο της $\displaystyle{f}$ .

STOPJOHN · #2

Η διαφορική εξίσωση γράφεται $f'(x)+F'(x)f(x)=5x, F(x)=\frac{5}{2}\cdot\ln (x^{2}+1)$ η οποία ισοδυνάμως γράφεται $e^{F(x) }\cdot f'(x)+e^{F(x)}\cdot F'(x)\cdot f(x)=5xe^{F(x)}$ Άρα $(e^{F(x)}f(x))'=5xe^{F(x)}$ εφόσον είναι $e^{F(x)}=(1+x^{2})^{\frac{5}{2}}$ υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα $\int 5x(1+x^{2})^{\frac{5}{2}}dx=\frac{5}{7}(1+x^{2})^{3}\sqrt{1+x^{2}}$ όπου έγινε αλλαγή μεταβλητής $\sqrt{1+x^{2}}=u$ , $(1+x^{2})^{^{\frac{5}{2}}}f(x)=\frac{5}{7}(1+x^{2})\sqrt{1+x^{2}}+c$ Για $x=0, c=\frac{-5}{7}$ η συνάρττηση είναι $f(x)=\frac{5}{7}(1+x^{2})^{-1}-\frac{5}{7}(1+x^{2})^{-\frac{5}{2}}$
Γ.Σ

#3

mathxl έγραψε:Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ με $\displaystyle{f\left( 0 \right) = 0}$ και τέτοια ώστε να ισχύει $\displaystyle{f'\left( x \right) + \frac{{5x}}{{1 + {x^2}}}f\left( x \right) = 5x}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ . Να βρείτε τον τύπο της $\displaystyle{f}$ .

Ισοδύμναμα

$\displaystyle{(1+x^2)^{5/2}f'\left( x \right) + 5x(1 + x^2)^{3/2} f\left( x \right) = 5x(1+x^2)^{5/2}}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac {d}{dx}\left ((1+x^2)^{5/2}f \left( x \right)\right) = \frac {d}{dx}\left (\frac {5}{7}(1+x^2)^{7/2}}\right)$

$\displaystyle{\Leftrightarrow (1+x^2)^{5/2}f \left( x \right) = \frac {5}{7}(1+x^2)^{7/2}} + c$

Σε συνδυασμό με την f(0)=0

δίνει $c =- \frac {5}{7}$ και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης

caley-hamilton · #4

Με ολοκληρωτικό παράγοντα:Πολ/ζω και τα 2 μέλη της δοθείσας διαφορικής με

$e^{\int{\frac{5x}{1+x^{2}}}$ δλδ με $(1+x^{2})^{\frac{5}{2}}$ ,οπότε θα έχουμε $(f(x)(1+x^{2})^{\frac{5}{2}}}){'}=5x (1+x^{2})^{\frac{5}{2}}$ στη συνέχεια ολοκληρώνοντας,βρίσκουμε $c=\frac{-1}{7}$ (αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος στις πράξεις!)

και έτσι καταλήγουμε στην :

$\displaystyle f(x)=\frac{1+x^{2}}{7}-\frac{(1+x^{2})^{\frac{-5}{2}}}{7}$ .

#5

caley-hamilton έγραψε:Με ολοκληρωτικό παράγοντα:Πολ/ζω και τα 2 μέλη της δοθείσας διαφορικής με

$e^{\int{\frac{5x}{1+x^{2}}}$ δλδ με $(1+x^{2})^{\frac{5}{2}}$ <...>

Και οι δύο παραπάνω λύσεις αυτό έκαναν. Απλά διασταυρώθηκαν χρονικά.

Μ.

Διαφορι-Κούλα 60

Διαφορι-Κούλα 60

Re: Διαφορι-Κούλα 60

Re: Διαφορι-Κούλα 60

Re: Διαφορι-Κούλα 60

Re: Διαφορι-Κούλα 60

Μέλη σε σύνδεση