ΝΑ ΑΠΟΔΕΙΞΕΤΕ ΟΤΙ ΥΠΑΡΧΕΙ ξ

nikosklms · #1

Έστω συνάρτηση $f:[0,2]\rightarrow \mathbb{R}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και τέτοια, ώστε:
$\bullet f'(0)=f'(2)=0$
$\bullet f''(0)>0$
$\bullet f''(2)>0$
Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi \epsilon (0,2)$ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της

στο σημείο της Μ( $\xi$ , $f(\xi )$ )
να είναι παράλληλη στον άξονα χ'χ

Ιδέες;

Λάμπρος Κατσάπας · #2

nikosklms έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 06, 2022 10:58 pm
Έστω συνάρτηση $f:[0,2]\rightarrow \mathbb{R}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και τέτοια, ώστε:
$\bullet f'(0)=f'(2)=0$
$\bullet f''(0)>0$
$\bullet f''(2)>0$
Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi \epsilon (0,2)$ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της στο σημείο της Μ( $\xi$ , $f(\xi )$ )
να είναι παράλληλη στον άξονα χ'χ

Ιδέες;

${f}''(0)>0 \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{{f}'(x)}{x}>0$

και

${f}''(2)>0 \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 2} \dfrac{{f}'(x)}{x-2}>0.$

Τι συμπέρασμα βγάζεις για το πρόσημο της {f}'

κοντά στα δύο σημεία;

stranger · #3

nikosklms έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 06, 2022 10:58 pm
Έστω συνάρτηση $f:[0,2]\rightarrow \mathbb{R}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και τέτοια, ώστε:
$\bullet f'(0)=f'(2)=0$
$\bullet f''(0)>0$
$\bullet f''(2)>0$
Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi \epsilon (0,2)$ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της στο σημείο της Μ( $\xi$ , $f(\xi )$ )
να είναι παράλληλη στον άξονα χ'χ

Ιδέες;

Λόγω συνέχειας της παραγώγου αν δεν υπήρχε σημείο μηδενισμού της f{'}

στο

τότε θα ήταν παντού θετική στο (0,2)

η παντού αρνητική στο (0,2)

. Άρα πηγαίνοντας με άτοπο, θεωρούμε ότι είναι παντού θετική στο (0,2)

. Η άλλη περίπτωση είναι η ίδια απόδειξη ουσιαστικά.
Κοντά στο

η

είναι θετική οπότε σε μία περιοχή του

η

είναι γνησίως αύξουσα. Το ίδιο και σε μια περιοχή του

.
Αφού $\lim_{x \rightarrow 2}f{'}(x) = f{'}(2)=0$ και η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα θα παίρνει αρνητικές τιμές αριστερά και κοντά του

, το οποίο είναι άτοπο.
Στην άλλη περίπτωση χρησιμοποιείς το f{'}(0)

.

ΝΑ ΑΠΟΔΕΙΞΕΤΕ ΟΤΙ ΥΠΑΡΧΕΙ ξ

ΝΑ ΑΠΟΔΕΙΞΕΤΕ ΟΤΙ ΥΠΑΡΧΕΙ ξ

Re: ΝΑ ΑΠΟΔΕΙΞΕΤΕ ΟΤΙ ΥΠΑΡΧΕΙ ξ

Re: ΝΑ ΑΠΟΔΕΙΞΕΤΕ ΟΤΙ ΥΠΑΡΧΕΙ ξ

Μέλη σε σύνδεση