Θεώρημα Μέσης τιμής - χρηση μη γνήσιας ανισότητας

Gdb5678 · #1

Καλησπέρα. Έχω μια ερώτηση: Έστω $f:[1,+\infty)$ με τύπο $f(t)= \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}$ και

μια αρχική της

.
Να βρεθεί το $\lim_{x\rightarrow +\infty}[F(x+1)-F(x-1)]$ .

Ας αρχίσουμε, η

είναι γνησίως φθίνουσα $\forall x\in[1,+\infty)$ και από ΘΜΤ υπάρχει $\xi\in(x-1, x+1)$ τέτοιο ώστε $2f(\xi)= F(x+1) -F(x-1) (1)$
Για να υπολογισουμε το ζητούμενο όριο θα πρέπει να εκμεταλλευτούμε το κριτήριο παρεμβολής και για να γίνει αυτό πρέπει να δημιουργήσουμε ανισότητα με (''

''). Είναι σωστό όμως να πουμε πως $x-1≤\xi≤x+1$ και να συνεχίσουμε με χρήση ανισοϊσοτητας ; Με προβληματίζει επειδή προηγουμένως από το ΘΜΤ προεκυψε πως το $\xi$ ανήκει στο ανοιχτό διάστημα αυτού.
Γενικότερα μπορώ να χρησιμοποιώ ανισότητες τέτοιας μορφής οι οποίες προέρχονται από τη διάταξη του ξ;
Σας ευχαριστώ

#2

Gdb5678 έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 24, 2022 2:56 am
Είναι σωστό όμως να πουμε πως $x-1≤\xi≤x+1$ και να συνεχίσουμε με χρήση ανισοϊσοτητας ; Με προβληματίζει επειδή προηγουμένως από το ΘΜΤ προεκυψε πως το $\xi$ ανήκει στο ανοιχτό διάστημα αυτού.

Ναι μπορούμε.

Καλύτερα να ξεκαθαρίσεις στο μυαλό σου την αιτία: Αν ισχύει a<b<c

τότε κατά μείζονα λόγο ισχύει $a\le b \le c$ .

Στο κάτω κάτω για το $\xi$ που χρησιμοποιείς είπες "υπάρχει $\xi \in (x-1,\, x+1)$ τέτοιο ώστε... " Αυτό σου δίνει με το παραπάνω ότι "υπάρχει $\xi \in [x-1,\, x+1]$ τέτοιο ώστε ... " . Οπότε μπορείς να χρησιμοποιήσεις το ελεύθερα το δεύτερο.

Gdb5678 · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 24, 2022 9:10 am

Gdb5678 έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 24, 2022 2:56 am
Είναι σωστό όμως να πουμε πως $x-1≤\xi≤x+1$ και να συνεχίσουμε με χρήση ανισοϊσοτητας ; Με προβληματίζει επειδή προηγουμένως από το ΘΜΤ προεκυψε πως το $\xi$ ανήκει στο ανοιχτό διάστημα αυτού.
Ναι μπορούμε.

Καλύτερα να ξεκαθαρίσεις στο μυαλό σου την αιτία: Αν ισχύει τότε κατά μείζονα λόγο ισχύει $a\le b \le c$ .

Στο κάτω κάτω για το $\xi$ που χρησιμοποιείς είπες "υπάρχει $\xi \in (x-1,\, x+1)$ τέτοιο ώστε... " Αυτό σου δίνει με το παραπάνω ότι "υπάρχει $\xi \in [x-1,\, x+1]$ τέτοιο ώστε ... " . Οπότε μπορείς να χρησιμοποιήσεις το ελεύθερα το δεύτερο.

Καλησπέρα, σας ευχαριστώ για την απάντηση, ωστόσο δυσκολεύομαι ακόμη λιγάκι να το κατανοήσω. Αν για παράδειγμα έχουμε αποδείξει πως $f(\xi)≥c$ , και από ΘΜΤ έχουμε βγάλει $f(\xi)≤c$ , μπορούμε να ισχυριστούμε πως $f(\xi)= c$ ; Μου φαίνεται περίεργο να ισχυει επειδή κάνοντας χρήση του (''

'') από το ΘΜΤ δεν προκύπτει κάτι τέτοιο

#4

Gdb5678 έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 24, 2022 12:58 pm
Καλησπέρα, σας ευχαριστώ για την απάντηση, ωστόσο δυσκολεύομαι ακόμη λιγάκι να το κατανοήσω. Αν για παράδειγμα έχουμε αποδείξει πως $f(\xi)≥c$ , και από ΘΜΤ έχουμε βγάλει $f(\xi)≤c$ , μπορούμε να ισχυριστούμε πως $f(\xi)= c$ ;

.
Βεβαίως, αυτό είναι το συμπέρασμα. Ο τρόπος να το δεις είναι λέγοντας ότι για κάθε δύο πραγματικούς $p.\, q$ ισχύει ακριβώς ένα από τα $p<q,\, p=q,\, p>q$ . Τώρα, αν ισχύει $f(\xi)≥c \, (*)$ και $f(\xi)≤c\, (**)$ τότε

α) αποκλείεται να είναι $f(\xi)<c$ λόγω της (*)

β) αποκλείεται να είναι $f(\xi)>c$ λόγω της (**)

Υποχρεωτικά λοιπόν μένει η $f(\xi)=c$
.

Gdb5678 έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 24, 2022 12:58 pm
Μου φαίνεται περίεργο να ισχυει επειδή κάνοντας χρήση του ('''') από το ΘΜΤ δεν προκύπτει κάτι τέτοιο

.
Πού στηρίζεις ότι δεν προκύπτει κάτι τέτοιο;

Το τελευταίο βήμα της εύρεσης του ορίου $\lim_{x\rightarrow +\infty}[F(x+1)-F(x-1)]$ είναι να πεις ότι αφού $\xi \to +\infty$ , το ζητούμενο είναι ίσο με

$\displaystyle{\lim_{\xi \rightarrow +\infty}2f(\xi ) = \lim_{\xi \rightarrow +\infty} \dfrac {1}{2\sqrt {1+\xi ^2}} =0 }$

Ο ισχυρισμός σου ότι "δεν προκύπτει κάτι τέτοιο" δεν μπαίνει στην εικόνα.

Gdb5678 · #5

Έχετε δίκιο. Υπάρχει περίπτωση να ισχύει κάποια ισότητα στο $x-1≤\xi≤x+1$ ; Ή τη χρησιμοποιούμε επειδή εκφράζει κάτι πιο γενικό αλλά εξίσου σωστό σε σχέση με το (''

'');

#6

Gdb5678 έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 24, 2022 3:40 pm
Έχετε δίκιο. Υπάρχει περίπτωση να ισχύει κάποια ισότητα στο $x-1≤\xi≤x+1$ ; Ή τη χρησιμοποιούμε επειδή εκφράζει κάτι πιο γενικό αλλά εξίσου σωστό σε σχέση με το ('''');

Στο Θ.Μ.Τ. δεν υπάρχει περίπτωση το $\xi$ να είναι κάποιο από τα άκρα. Το λέει άλλωστε με σαφήνεια η διατύπωση του Θεωρήματος, αφού προσδιορίζει ότι το $\xi$ ανήκει στο ανοικτό διάστημα.

Ο λόγος που το Θεώρημα διατυπώνεται με ανοικτό διάστημα αντί της (ασθενέστερης) εκδοχής με κλειστό διάστημα, είναι γιατί αυτή ακριβώς η μορφή του χρειάζεται στην απόδειξη του Κανόνα l' Hospital. Δυστυχώς όμως στα σχολικά Μαθηματικά δεν υπάρχει η απόδειξη ούτε του ενός ούτε του άλλου θεωρήματος. Το αποτέλεσμα είναι ότι ο μεν μαθητής να θεωρεί ότι τα Μαθηματικά είναι αυθαίρετα ο δε Καθηγητής να διδάσκει ουρανοκατεύατα θεωρήματα, χωρίς αιτιολόγηση και χωρίς να μπορεί να δικαιολογήσει βαθύτερα τις υποθέσεις ή τα συμεράσματα του εκάστοτε θεωρήματος. Όλο το σκηνικό είναι ένα από τα παράδοξα της ύλης που διδάσκουμε.

Gdb5678 · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 24, 2022 5:27 pm

Gdb5678 έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 24, 2022 3:40 pm
Έχετε δίκιο. Υπάρχει περίπτωση να ισχύει κάποια ισότητα στο $x-1≤\xi≤x+1$ ; Ή τη χρησιμοποιούμε επειδή εκφράζει κάτι πιο γενικό αλλά εξίσου σωστό σε σχέση με το ('''');
Στο Θ.Μ.Τ. δεν υπάρχει περίπτωση το $\xi$ να είναι κάποιο από τα άκρα. Το λέει άλλωστε με σαφήνεια η διατύπωση του Θεωρήματος, αφού προσδιορίζει ότι το $\xi$ ανήκει στο ανοικτό διάστημα.

Ο λόγος που το Θεώρημα διατυπώνεται με ανοικτό διάστημα αντί της (ασθενέστερης) εκδοχής με κλειστό διάστημα, είναι γιατί αυτή ακριβώς η μορφή του χρειάζεται στην απόδειξη του Κανόνα l' Hospital. Δυστυχώς όμως στα σχολικά Μαθηματικά δεν υπάρχει η απόδειξη ούτε του ενός ούτε του άλλου θεωρήματος. Το αποτέλεσμα είναι ότι ο μεν μαθητής να θεωρεί ότι τα Μαθηματικά είναι αυθαίρετα ο δε Καθηγητής να διδάσκει ουρανοκατεύατα θεωρήματα, χωρίς αιτιολόγηση και χωρίς να μπορεί να δικαιολογήσει βαθύτερα τις υποθέσεις ή τα συμεράσματα του εκάστοτε θεωρήματος. Όλο το σκηνικό είναι ένα από τα παράδοξα της ύλης που διδάσκουμε.

Συνεπως, αν μιλησουμε συγκεκριμενα για τη παραπανω συναρτηση, στο $x-1\leq \xi \leq x+1\Leftrightarrow\frac{2}{\sqrt{1+(x+1)^{2}}}\leq F(x+1)- F(x-1)\leq \frac{2}{\sqrt{1+(x-1)^2}}$ αν καταλαβα καλα, η ισοτητα αποκλειεται να ισχυει, ωστοσο δεν ειναι λαθος να την παρουσιασουμε, σωστα;

#8

Gdb5678 έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 24, 2022 5:43 pm
Συνεπως, αν μιλησουμε συγκεκριμενα για τη παραπανω συναρτηση, στο $x-1\leq \xi \leq x+1\Leftrightarrow\frac{2}{\sqrt{1+(x+1)^{2}}}\leq F(x+1)- F(x-1)\leq \frac{2}{\sqrt{1+(x-1)^2}}$ αν καταλαβα καλα, η ισοτητα αποκλειεται να ισχυει, ωστοσο δεν ειναι λαθος να την παρουσιασουμε, σωστα;

.
Είτε την γράψεις την ισότητα είτε όχι, δεν έχει διαφορά. Το θεώρημα που επικαλείσαι είναι το εξής (το διατυπώνω με γνήσια ανισότητα)

Αν p(x) < q(x) < r(x)

και αν $\displaystyle{\lim _{x\to a} p(x) = \lim _{x\to a} r(x) =L}$ , τότε το $\displaystyle{\lim _{x\to a} q(x)}$ υπάρχει και μάλιστα $\displaystyle{\lim _{x\to a} q(x)=L}$ .

Υπόψη ότι γνήσια ανισότητα (όπως εδώ) είναι υπαρκτό σενάριο. Π.χ. για να δείξεις ότι $\displaystyle{ \lim _{x\to +\infty } \dfrac {1} { x+ \sin x} =0}$ , μπορείς να χρησιμοποιήσεις τις

$\displaystyle{ \dfrac {1} { x+2 } < \dfrac {1} { x+ \sin x } < \dfrac {1} { x-2 } }$ και μετά

$\displaystyle{ \lim _{x\to +\infty } \dfrac {1} { x+2 } = \lim _{x\to +\infty } \dfrac {1} { x-2 } =0 }$

Θεώρημα Μέσης τιμής - χρηση μη γνήσιας ανισότητας

Θεώρημα Μέσης τιμής - χρηση μη γνήσιας ανισότητας

Re: Θεώρημα Μέσης τιμής - χρηση μη γνήσιας ανισότητας

Re: Θεώρημα Μέσης τιμής - χρηση μη γνήσιας ανισότητας

Re: Θεώρημα Μέσης τιμής - χρηση μη γνήσιας ανισότητας

Re: Θεώρημα Μέσης τιμής - χρηση μη γνήσιας ανισότητας

Re: Θεώρημα Μέσης τιμής - χρηση μη γνήσιας ανισότητας

Re: Θεώρημα Μέσης τιμής - χρηση μη γνήσιας ανισότητας

Re: Θεώρημα Μέσης τιμής - χρηση μη γνήσιας ανισότητας

Μέλη σε σύνδεση