Πολυώνυμο-εκθετική

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε την μέγιστη τιμή της μη αρνητικής παραμέτρου

για την οποία η ημιευθεία y=at+1

( $t \ge 0$ ) έχει κοινό σημείο, εκτός του (0,1)

, με την γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(t)=t^3e^{-t}+1$ , με ( $t \ge 0$ ).

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 23, 2020 9:34 pm
Να βρείτε την μέγιστη τιμή της μη αρνητικής παραμέτρου για την οποία η ημιευθεία ( $t \ge 0$ ) έχει κοινό σημείο, εκτός του , με την γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(t)=t^3e^{-t}+1$ , με ( $t \ge 0$ ).

...μια αντιμετώπιση...
Αν $({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ το άλλο κοινό σημείο εκτός του (0,1)

θα ισχύει ότι

${{x}_{0}}^{3}{{e}^{-{{x}_{0}}}}+1=a{{x}_{0}}+1\Leftrightarrow \frac{x_{0}^{3}}{{{e}^{{{x}_{0}}}}}=a{{x}_{0}}\overset{{{x}_{0}}\ne 0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\frac{x_{0}^{2}}{{{e}^{{{x}_{0}}}}}=a$

Τώρα για τη συνάρτηση $g(x)=\frac{{{x}^{2}}}{{{e}^{x}}},\,\,x\ge 0$ έχουμε ότι ${g}'(x)=\frac{2x-{{x}^{2}}}{{{e}^{x}}},\,\,x\ge 0$

και είναι
${g}'(x)>0\Leftrightarrow \frac{2x-{{x}^{2}}}{{{e}^{x}}}>0\Leftrightarrow x<2$ άρα $g\,\,$ γνήσια αύξουσα στο $[0,\,2]$ και

${g}'(x)<0\Leftrightarrow \frac{2x-{{x}^{2}}}{{{e}^{x}}}<0\Leftrightarrow x>2$ άρα $g\,\,$ γνήσια φθίνουσα στο $[2,\,+\infty )$

οπότε μέγιστη τιμή της στο

η $g(2)=\frac{4}{{{e}^{2}}}$ που είναι και η την μέγιστη τιμή

της μη αρνητικής παραμέτρου

για να ισχύει το ζητούμενο.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Al.Koutsouridis · #3

Αυτή ήταν και η δική μου αντιμετώπιση. Βέβαια αρχικά είχα σκοπό να δημιουργήσω πιο περίπλοκο θέμα, ελλέιψει χρόνου και φαντασίας όμως περιορίστηκα στο παραπάνω. Η ιδέα μου ήρθε κοιτώντας το λήμμα επιδημική καμπύλη και συγκεκριμένα την δυναμική εικόνα που έχει εκεί. Προσπάθησα να βρω μια καμπύλη, που μπορεί να χειριστεί σχετικά εύκολα με σχολικά μέσα και να περιγράφει τουλάχιστον εικονικά μια επιδημική καμπύλη.

Το ερώτημα θα δινόταν στην μορφή: Η συνάρτηση f(t)

θα έδινε την εκτίμηση των ενεργών κρουσμάτων σε μια περιοχή από την στιγμή της εμφάνισης του πρώτου κρούσματος. Αν αρχικά το σύστημα υγείας της περιοχή είχε χωρητικότητα

, ποιός ο ελάχιστος ρυθμός αύξησης της χωρητικότητας ώστε το σύστημα υγείας να μπορεί να ανταπεξέλθει;

Επειδή η συνάρτηση είναι και εύκολα ολοκληρώσιμη, μπορεί να δοθεί το ερώτημα του πόσα κρούσματα περιμένουμε μέχρι να φτάσουμε το μέγιστο αριθμό κρουσμάτων. Ή πιο δύσκολο ερώτημα, ποιο

ήμερο θα έχουμε τα περισσότερα κρούσματα.

Επίσης θα μπορούσε να εξεταστεί γενικά μια συνάρτηση της μορφής $f(x)=k(ax)^3e^{-ax}$ , όπου τα k,a

θα είναι δείκτες επιρροής των μέτρων που λαμβάνει η διοίκηση μιας περιοχής και να σχηματιστούν αντίστοιχα ερωτήματα.

Πολυώνυμο-εκθετική

Πολυώνυμο-εκθετική

Re: Πολυώνυμο-εκθετική

Re: Πολυώνυμο-εκθετική

Μέλη σε σύνδεση