Ακραία και οριακά

KARKAR · #1

Είναι η συνάρτηση : $f(x)=\sqrt{1-cosx}$ , παραγωγίσιμη στο $[0,2\pi]$ ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 27, 2018 11:54 am
Είναι η συνάρτηση : $f(x)=\sqrt{1-cosx}$ , παραγωγίσιμη στο $[0,2\pi]$ ;

Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle (0,2\pi )$ με παράγωγο $\displaystyle f'(x) = \frac{{\sin x}}{{2\sqrt {1 - cosx} }}$

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 - \cos x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{2\frac{x}{2}}}\sqrt 2 = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Ομοίως βρίσκουμε $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 2{\pi ^ - }} \frac{{f(x) - f(2\pi )}}{{x - 2\pi }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Άρα είναι παραγωγίσιμη στο $[0,2\pi]$

Παρατήρηση: Η

δεν είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}.$ Για την ακρίβεια, δεν είναι παραγωγίσιμη σε κανένα $x = 2k\pi ,k \in\mathbb{Z}$

Christos.N · #3

Παιχνιδιάρης ο KARKAR , θα είμαι πολύ καλός μαθητής σήμερα.

Θα ξεκινήσω ως πολύ καλός μαθητής-μου είπαν ότι θα γίνω μηχανολόγος- που στην Β' Λυκείου διάβαζε:

$\displaystyle 1 - \cos x = 1 - \cos 2\frac{x}{2} = 1 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right) = 2{\sin ^2}\frac{x}{2}$

Άρα $\displaystyle f\left( x \right) = \sqrt 2 \left| {\sin \frac{x}{2}} \right|\mathop = \limits^* \sqrt 2 \sin \frac{x}{2},x \in \left[ {0,2\pi } \right]$

γιατί, $\displaystyle *0 \leqslant x \leqslant 2\pi \Rightarrow 0 \leqslant \frac{x}{2} \leqslant \pi \Rightarrow \sin \frac{x}{2} \geqslant 0$

η οποία αποτελεί σύνθεση των $\displaystyle k\left( x \right) = \sqrt 2 \sin x,l\left( x \right) = \frac{x}{2}$

άρα η $\displaystyle l\left( x \right) = \frac{x}{2}$ είναι παραγωγίσιμη στο

άρα θα είναι και στο $\displaystyle \left[ {0,2\pi } \right]$ επίσης η $\displaystyle k\left( x \right) = \sqrt 2 \sin x$ είναι παραγωγίσιμη σε όλο

και παρατηρούμε ότι είναι παραγωγίσιμη και στο $\displaystyle l\left( {\left[ {0,2\pi } \right]} \right) = \left[ {0,\pi } \right]$ , άρα η σύνθεση τους είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle \left[ {0,2\pi } \right]$ και ισχύει: $\displaystyle f'\left( x \right) = k'\left( {l\left( x \right)} \right)l'\left( x \right)$

Για τα παραπάνω βασιστήκαμε στο:

: Καταγραφή11.PNG (40.28 KiB) Προβλήθηκε 864 φορές

Όμως δεν ήμουν καλός μαθητής στην Β' Λυκείου και δεν ήξερα τριγωνομετρία καλά καλά, ήμουν πολύ φιλότιμος στην Γ' -μου είπαν ότι θα γινόμουν πληροφορικός-και διάβασα ο άτιμος , ναι διάβασα πάρα πολύ.

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = \sqrt {1 - \cos x} ,x \in \left[ {0,2\pi } \right]$ είναι σύνθεση των συναρτήσεων $\displaystyle k\left( x \right) = \sqrt x ,l\left( x \right) = 1 - \cos x$ .

άρα καθώς η $\displaystyle l\left( x \right) = 1 - \cos x$ είναι παραγωγίσιμη στο

άρα θα είναι και στο $\displaystyle \left[ {0,2\pi } \right]$ όμως η συνάρτηση $\displaystyle k\left( x \right) = \sqrt x$ γνωρίζουμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle \left( {0, + \infty } \right)$ και άρα όχι στο μηδέν που περιέχεται στο $\displaystyle l\left( {\left[ {0,2\pi } \right]} \right) = \left[ {0,2} \right]$ , συνεπώς η $\displaystyle f\left( x \right) = \sqrt {1 - \cos x}$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο

και στο $2\pi$

Ένα άλλο παιδάκι πιο πριν, πολύ διαβασμένο και αυτό-σίγουρα θα γίνει μαθηματικός- χρησιμοποίησε κάτι άλλο που έγραφε το βιβλίο.

: Καταγραφή12.PNG (41.44 KiB) Προβλήθηκε 864 φορές

και έκανε την παρακάτω λύση

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 27, 2018 12:30 pm

Η είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle (0,\pi )$ με παράγωγο $\displaystyle f'(x) = \frac{{\sin x}}{{2\sqrt {1 - cosx} }}$

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 - \cos x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{2\frac{x}{2}}}\sqrt 2 = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Ομοίως βρίσκουμε $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 2{\pi ^ - }} \frac{{f(x) - f(2\pi )}}{{x - 2\pi }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Άρα είναι παραγωγίσιμη στο $[0,2\pi]$

Βγήκαν και άρχισαν την κουβέντα που λέτε.....

Υ.Γ. Έγραφα το κείμενο και είχα μια περιπαικτική διάθεση μην δίνετε πολύ σημασία στις επιστήμες που αναφέρω.

Ακραία και οριακά

Ακραία και οριακά

Re: Ακραία και οριακά

Re: Ακραία και οριακά

Μέλη σε σύνδεση