Εύρεση τύπου

#1

Να βρεθούν οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για τις οποίες για κάθε $a,b \in \mathbb{R}$ με a<b

υπάρχει

$c \in (a,b)$ ώστε f{'}(b)-f{'}(a)=(b-a)f(c)

Mulder · #2

Έστω $x_0 \in R$ . Για x>x_0

ορίζουμε τη συνάρτηση c(x)=

"το $c(x)\in (x_0,x)$ για το οποίο (x-x_0)f(c(x))=(f'(x)-f'(x_0))

"

Για

έχουμε ότι $f(c(x))=\frac{f'(x)-f'(x_0}{x-x_0}$ και $x_0\leq c(x) \leq x$

Το όριο $\lim_{x\to x_0^+} c(x)$ από κριτήριο παρεμβολής είναι ίσο με x_0

. Επειδή η

είναι συνεχής, έχουμε ότι το $\lim_{x\to x_0^+} f(c(x))$ υπάρχει και είναι ίσο με f(x_0)

Εντελώς ανάλογα βρίσκουμε ότι υπάρχει και το $\lim_{x\to x_0^-} \frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}$ και ότι είναι ίσο με f(x_0)

Άρα η

είναι παραγωγίσιμη με f''(x)=f(x)

Ορίζουμε $h:R\to R$ με h(x)=f'(x)+f(x)

. Τα συμπεράσματα μέχρι τώρα επιβάλλουν ότι $h'(x)=h(x) , \forall x \in R$ , άρα h(x)=ce^x

για κάποιο $c\in R$ .

Άρα $f'(x)+f(x)=ce^x \Rightarrow (e^xf(x))'=ce^{2x} \Rightarrow e^xf(x)= ke^{2x}+w ,$ για κάποια $k,w\in R$ .

Τελικά τα αρχικά δεδομένα επιβάλλουν ότι θα πρέπει η

να είναι της μορφής $f(x)=ke^x+we^{-x}$ για κάποια $k,w \in R$

Eπαλήθευση: Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ για τη παράγωγο αυτής της συνάρτηση στο τυχόν $(a,b)\subset R$

Εύρεση τύπου

Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Μέλη σε σύνδεση