ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

mathada · #1

Αν $f:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ $f"(x)>f(x),x\in \mathbb{R}$ και f(0)=f'(0)=0

να δείξετε ότι

κυρτή.

#2

Aρκει να δείξουμε πως $\displaystyle{ f(x) > 0,\forall x > 0 }$

Στη δοθείσα προσθέτω και στα δύο μέλη την παράγωγο.
Τότε:

$\displaystyle{ f''(x) + f'(x) > f'(x) + f(x),\forall x > 0 }$

(αποκλείεται $\displaystyle{ x \in R }$
)

Πολλαπλασιάζοντας επί $\displaystyle{ e^x > 0 }$
λαμβάνω:
$\displaystyle{ (f'(x)e^x )' > (f(x)e^x )',x > 0 \Rightarrow [(f'(x) - f(x)e^x ]' > 0,x > 0 }$
Συνεπώς η συνάρτηση g με
$\displaystyle{ g(x) = (f'(x) - f(x)e^x ,x \ge 0 }$
είναι γνήσίως αύξουσα στο $\displaystyle{ [0, + \infty ) }$
αρα:
$\displaystyle{ x > 0 \Rightarrow g(x) > g(0) \Rightarrow (f'(x) - f(x))e^x > 0 \Rightarrow f'(x) > f(x) }$

Συνεχίζοντας:
$\displaystyle{ f'(x) > f(x) \Rightarrow (f(x)e^{ - x} )' > 0,x > 0 }$
δηλαδή η συνάρτηση h με

$\displaystyle{ h(x) = f(x)e^{ - x} ,x \ge 0 }$
είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{ [0, + \infty ) }$
Αρα

$\displaystyle{ x > 0 \Rightarrow f(x)e^{ - x} > f(0)e^0 = 0 \Rightarrow f(x) > 0 }$

Τελειώσαμε γιατί τώρα απο την αρχική έχω:

$\displaystyle{ f''(x) > 0,x > 0 }$
και f συνεχής στο $\displaystyle{ [0, + \infty ) }$
αρα κυρτή στο $\displaystyle{ [0, + \infty ) }$
.

mathada · #3

Πολύ ωραία.
Και όμως η εκφώνηση γράφει για καθε χεR.

#4

Εντάξει αλλά ας πρυτανεύσει η λογική!
Το πεδίο ορισμού είναι το [0,+οο).

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

Re: ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

Re: ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

Re: ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

Μέλη σε σύνδεση