Ανάποδο μέγιστο

KARKAR · #1

: Ανάποδο μέγιστο.png (14.72 KiB) Προβλήθηκε 97 φορές

Στη διάμετρο AB=d

, ενός ημικυκλίου κινείται σημείο

. Με διάμετρο την

γράφουμε εσωτερικά

νέο ημικύκλιο κέντρου

, από το μέσο

του οποίου φέρουμε παράλληλη και ομόρροπη προς την

,

η οποία τέμνει το τόξο στο σημείο

. Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου KMTS

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 07, 2026 1:11 pm
Ανάποδο μέγιστο.png Στη διάμετρο , ενός ημικυκλίου κινείται σημείο . Με διάμετρο την γράφουμε εσωτερικά

νέο ημικύκλιο κέντρου , από το μέσο του οποίου φέρουμε παράλληλη και ομόρροπη προς την ,

η οποία τέμνει το τόξο στο σημείο . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου .

.

: Ανάποδο.png (25.05 KiB) Προβλήθηκε 68 φορές

.
Αν το μεγάλο ημικύκλιο έχει ακτίνα r=d/2

και το μικρό έχει ακτίνα

, εύκολα διαπιστώνουμε ότι

MN=KO=OA-KA=r-x

και $NT=\sqrt {OT^2-ON^2}=\sqrt {r^2-x^2}$ . Άρα

$(KMTS)= \dfrac {1}{2} [KS+(MN+NT)}KM= \dfrac {1}{2} [x+(r-x+\sqrt {r^2-x^2})]x= \dfrac {1}{2} (r+\sqrt {r^2-x^2})x$

Η παράσταση του εμβαδού έχει παράγωγο $\dfrac {r^2-2x^2+r\sqrt {r^2-x^2}}{2\sqrt {r^2-x^2}}$ , που μηδενίζεται όταν $x=\dfrac {\sqrt 3R}{2}$ (άμεσο).

Είναι τότε με αντικατάσταση στον τύπο $\boxed {(KMTS)_{max}= \dfrac {3\sqrt 3}{8}r^2= \dfrac {3\sqrt 3}{32}d^2}$

Ανάποδο μέγιστο

Ανάποδο μέγιστο

Re: Ανάποδο μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση