Θέμα

#1

Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle g:R\to R$ με $\displaystyle g(x)=\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{x-1}}}$
και $f:\left( 0,3 \right)\to R$ με τύπο $f\left( x \right)=2{{e}^{1-x}}-\frac{\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }}{x}$ , όπου $\alpha \in \mathbb{R}$
για την οποία ισχύει: $\underset{x\to 0}{\mathop{lim}}\,\frac{f\left( 1+x \right)-2+\alpha }{x}=-1$ .
Δ1. Να μελετήσετε τη g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Δ2. Να αποδείξετε ότι $\alpha =1$
Δ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f\left( x \right)=0$ έχει ακριβώς δύο ρίζες ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ με ${{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}$ και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι ${{x}_{1}}<\frac{1}{2}$
Δ4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο $\Mu \left( \xi ,f\left( \xi \right) \right)$ με $\xi \in \left( 0,1 \right)$ στο οποίο η κλίση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ισούται με $\frac{2f\left( \frac{1}{2} \right)}{1-2{{x}_{1}}}$ , όπου $\displaystyle {{x}_{1}}$ είναι οι ρίζα που αναφέρεται στο ερώτημα Δ3

Dimessi · #2

Δ1.Η

είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle g'\left ( x \right )=3x^{2}e^{1-x}-x^{3}e^{1-x}=x^{2}e^{1-x}\left ( 3-x \right ).$
$g'\left ( x \right )=0\Leftrightarrow x=0\vee x=3.$ Στο $(-\infty,3)$ είναι $g'\left ( x \right )\geqslant 0$ με ισότητα μόνο στο

και στο $(3,+\infty)$ είναι $g'\left ( x \right )< 0$ κι αφού

συνεχής στο

άρα η

είναι γνήσια αύξουσα στο $(-\infty,3]$ και γνήσια φθίνουσα στο $[3,+\infty),$ παρουσιάζοντας ολικό μέγιστο στο

Δ2.

παραγωγίσιμη με $\displaystyle f'\left ( x \right )=\frac{a}{x^{2}}-2e^{1-x}.$
$\displaystyle -1=\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f\left ( 1+x \right )-f\left ( 1 \right )}{x}=\displaystyle \lim_{y \to 1}\frac{f\left ( y \right )-f\left ( 1 \right )}{y-1}=f'\left ( 1 \right )\Rightarrow a=1.$ Είναι $\displaystyle f'\left ( x \right )=0\Leftrightarrow 2x^{2}e^{1-x}-1=0.$
Παίρνουμε τη συνάρτηση $h(x)=2x^2e^{1-x}-1$ ορισμένη στο (0,3),

με $h'(x)=2x(2-x)e^{1-x}.$ Οπότε

γνήσια αύξουσα στο (0,2]

και γνήσια φθίνουσα στο [2,3)

και λόγω συνέχειας έχουμε $\displaystyle h\left ( \left ( 0,2 \right ] \right )=\left ( \displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}h\left ( x \right ),h\left ( 2 \right ) \right ]=\left (-1,\frac{8}{e}-1 \right ],h\left ( [2,3) \right )=\left ( \displaystyle \lim_{x \to 3^{-}}h\left ( x \right ),h\left ( 2 \right ) \right ]=\left ( \frac{18}{e^{2}}-1,\frac{8}{e}-1 \right ].$ Επομένως h(x)>0

στο

και $\exists \xi _{1}\in \left ( 0,2 \right ):h\left ( \xi _{1} \right )=0 ,$ μοναδικό λόγω γνήσιας μονοτονίας της

στο

Άρα $h\left ( x \right )< 0$ στο $(0,\xi_{1})$ και h(x)>0

στο $(\xi_{1},2].$ Αφού

ετερόσημη της

άρα

στο

στο $(0,\xi_{1}),$ και f'(x)<0

στο $(\xi_{1},2].$ Άρα

γνήσια αύξουσα στο $(0,\xi_{1}]$ και γνήσια φθίνουσα στο $[\xi_{1},3).$ Επειδή $h(1)=1>0=h(\xi_{1})$ με

γνήσια αύξουσα στο (0,2],

άρα $\xi_{1}<1.$ Είναι
$\displaystyle f\left ( \xi _{1} \right )=\frac{2\xi _{1}e^{1-\xi _{1}}-1}{\xi _{1}}\overset{h\left ( \xi _{1} \right )=0}=\frac{\frac{1}{\xi _{1}}-1}{\xi _{1}}=\frac{1-\xi _{1}}{\xi _{1}^{2}}\overset{\xi _{1}< 1}> 0,$ $\displaystyle f\left ( \left ( 0,\xi _{1} \right ] \right )=\left ( \displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}f\left ( x \right ),f\left ( \xi _{1} \right ) \right ]=\left ( -\infty,f\left ( \xi _{1} \right ) \right ].$ Επειδή $f(\xi_{1})>0,$ άρα η

έχει και λόγω γνήσιας μονοτονίας μοναδική ρίζα $x_{1}\in (0,\xi_{1})\overset{\xi _{1}< 1}\subset \left ( 0,1 \right ).$ Ακόμα $\diplaystyle f\left ( \left [ \xi _{1},3 \right )\right )=\left ( \displaystyle \lim_{x \to 3^{-}} f\left ( x \right ),f\left ( \xi _{1} \right )\right ]=\left ( \frac{2}{e^{2}}-\frac{1}{3},f\left ( \xi _{1} \right ) \right ]\Rightarrow 0\in f\left ( \left [ \xi _{1},3 \right ) \right )\Rightarrow$ $\displaystyle \exists \mu o\nu \alpha \delta \iota \kappa o\left ( monotonic \right )x_{2}\in \left ( \xi _{1},3 \right ):f\left ( x_{2} \right )=0.$ Αφού $1,x_{2}\in (\xi_{1},3)$ με $f\left ( x_{2} \right )=0< 1=f\left ( 1 \right )\overset{monotonic}\Rightarrow x_{2}> 1.$ Είναι

γνήσια αύξουσα στο (0,2]

με $\displaystyle h\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{\sqrt{e}-2}{2}< 0=h\left ( \xi _{1} \right )\overset{monotonic}\Rightarrow \xi _{1}> \frac{1}{2}.$ Τώρα, με

γνήσια αύξουσα στο $(0,\xi_{1}]$ και $\displaystyle \frac{1}{2},x_{1}\in \left ( 0,\xi _{1} \right ):f\left ( \frac{1}{2} \right )=2\sqrt{e}-2> 0=f\left ( x_{1} \right )\overset{monotonic}\Rightarrow x_{1}< \frac{1}{2}.$ Επειδή η

είναι συνεχής στο $\displaystyle [x_{1},\frac{1}{2}]$ και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle (x_{1},\frac{1}{2}),$ άρα από ΘΜΤ $\displaystyle \exists \xi \in \left ( x_{1},\frac{1}{2} \right )\subset \left ( 0,1 \right ):f'\left ( \xi \right )=\frac{f\left ( \frac{1}{2} \right )-f\left ( x_{1} \right )}{\frac{1}{2}-x_{1}}\overset{f\left ( x_{1} \right )=0}=\frac{2f\left ( \frac{1}{2} \right )}{1-2x_{1}}.$ Στο (0,1)

είναι $\displaystyle f''\left ( x \right )=2e^{1-x}-\frac{2}{x^{3}}=\frac{2}{x^{3}}\left ( x^{3}e^{1-x}-1 \right )\overset{\left ( x^{3}e^{1-x} \right )'=x^{2}e^{1-x}\left ( 3-x \right )> 0,}< 0,$ άρα η

είναι γνήσια φθίνουσα στο (0,1),

οπότε το $\xi$ είναι μοναδικό.

Θέμα

Θέμα

Re: Θέμα

Μέλη σε σύνδεση