κάπου την είδα αλλά δεν θυμάμαι που

venpan · #1

Δίνεται η

και η $f:R \to R$ δυο φορές παραγωγίσιμη και για κάθε x>0

$(x-1)f'(x) \geq g(x)$

α) μονοτονία και σύνολο τιμών της

β) μονοτονία

και ν.δ.ο. f'(1)=0

γ) ν.δ.ο.

και να εξετάσετε αν παρουσιάζει καμπή στο x_0=1

δ) ν.δ.ο. $\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$

Tolaso J Kos · #2

venpan έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 27, 2021 11:51 am
Δίνεται η και η $f:R \to R$ δυο φορές παραγωγίσιμη και για κάθε $(x-1)f'(x) \geq g(x)$

α) μονοτονία και σύνολο τιμών της

β) μονοτονία και ν.δ.ο.

γ) ν.δ.ο. και να εξετάσετε αν παρουσιάζει καμπή στο

δ) ν.δ.ο. $\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$

(α) Η

είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ με παράγωγο $g'(x) = 2x - \frac{2}{x}$ . Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} g'(x) >0 &\Leftrightarrow 2x - \frac{2}{x} >0 \\ &\Leftrightarrow x^2- x >0 \\ &\!\!\!\!\overset{x>0}{\Leftarrow \! =\! \Rightarrow } x >1 \end{aligned}}$
Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[1, +\infty)$ και γνησίως φθίνουσα στο (0, 1]

. Τέλος, παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x_0=1

. Το σύνολο τιμών της

είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} g \left ( \left ( 0, +\infty \right ) \right ) &= g \left ( (0, 1] \right ) \cup g \left ( \left [ 1, +\infty \right ) \right ) \\ &=\left [ g(1), \lim_{x \rightarrow 0^+} g(x) \right ) \cup \left [ g(1) , \lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) \right ] \\ &=\left [ 0, +\infty \right ) \cup \left [ 0, +\infty \right ) \\ &= \left [ 0 , +\infty \right ) \end{aligned}}$

(β) Για $x \neq 1$ είναι $\displaystyle{f'(x) \geq \frac{g(x)}{x-1}}$ . Συνεπώς για x>1

είναι

ενώ για

είναι

. Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[1, +\infty)$ και γνησίως φθίνουσα στο (0, 1]

. Παίρνοντας πλευρικά όρια έχουμε:

Για είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 1^+} f'(x) &\geq \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{g(x)}{x-1} \\ &=\lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{x^2-2\ln x -1}{x-1} \\ &= \lim_{x \rightarrow 1^+} \left ( 2x - \frac{2}{x} \right ) \\ &= 0 \end{aligned}}$
Για είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 1^-} f'(x) &\leq \lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{g(x)}{x-1} \\ &=\lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{x^2-2\ln x -1}{x-1} \\ &= \lim_{x \rightarrow 1^-} \left ( 2x - \frac{2}{x} \right ) \\ &= 0 \end{align*ed}$

Συνεπώς

.

(γ) Δε βλέπω πώς προκύπτει το .

(δ) Η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[1, +\infty)$ . Έστω ότι $\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \ell >0$ . Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathbb{R} \ni \ell &= \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) \\ &= \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x f(x)}{f(x)} \\ &= \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x f(x) + e^x f'(x)}{e^x} \\ &= \lim_{x \rightarrow +\infty} \left (f(x) + f'(x) \right ) \\ &= \ell + \infty \\ &= +\infty \end{aligned}}$
(άτοπο) . Άρα $\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$ . Το ότι $\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x) = +\infty$ προκύπτει άμεσα από τη δοσμένη σχέση παίρνοντας όρια στο $+\infty$ .

venpan · #3

γ) διαρώντας με (x-1)^2

κατά περίπτωση την δοσμένη

ILIOPOULOS PANAGIOTIS · #4

Αυτή τη διαίρεση ακριβώς έκανα και εγώ και μου βγαίνει ότι $f''(1)\geq 2$ . Το 'ίσον' δεν ξέρω πως προκύπτει.

Tolaso J Kos · #5

venpan έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 27, 2021 3:38 pm
γ) διαρώντας με κατά περίπτωση την δοσμένη

Ναι, το έβγαλα και γω μετά. Η κούραση έπαιξε το ρόλο της.

ILIOPOULOS PANAGIOTIS έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 27, 2021 5:09 pm
Αυτή τη διαίρεση ακριβώς έκανα και εγώ και μου βγαίνει ότι $f''(1)\geq 2$ . Το 'ίσον' δεν ξέρω πως προκύπτει.

Άκυρο.

Edit: 10/06/2021

ILIOPOULOS PANAGIOTIS · #6

Έχω μία ερώτηση. Είτε το χ είναι μικρότερο είτε μεγαλύτερο του

διαιρώντας με το $(x-1)^{2}$ λαμβάνουμε $\frac{f'(x)}{x-1}\geq \frac{g(x)}{(x-1)^{2}}$ και παίρνοντας όρια πλευρικά στο $1^{-}$ και στο $1^{+}$ βγαίνει και στις δύο περιπτώσεις ότι $f''(1)\geq 2$ .
Δεν έχω καταλάβει τι σημαίνει η φράση 'διαιρώντας κατά περίπτωση με $(x-1)^{2}$ τη δοσμένη', αφού το $(x-1)^{2}$ διατηρεί πρόσημο εκατέρωθεν του

και η φορά της ανισότητας είναι η ίδια και στις δύο περιπτώσεις.

venpan · #7

Μια χαρά Παναγιώτη. Η άσκηση έπρεπε να λέει $f'' (1)\geq 2$

ILIOPOULOS PANAGIOTIS · #8

Εάν διαιρούσαμε με περιττή δύναμη τότε το ερώτημα θα έβγαινε τζάμι!

κάπου την είδα αλλά δεν θυμάμαι που

κάπου την είδα αλλά δεν θυμάμαι που

Re: κάπου την είδα αλλά δεν θυμάμαι που

Re: κάπου την είδα αλλά δεν θυμάμαι που

Re: κάπου την είδα αλλά δεν θυμάμαι που

Re: κάπου την είδα αλλά δεν θυμάμαι που

Re: κάπου την είδα αλλά δεν θυμάμαι που

Re: κάπου την είδα αλλά δεν θυμάμαι που

Re: κάπου την είδα αλλά δεν θυμάμαι που

Μέλη σε σύνδεση