Θέμα Β

KARKAR · #1

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=x^3+bx^2+(4-b)x+b , b \in \mathbb{R}$ .

α) Για ποια τιμή του

, η $C_{f}$ διέρχεται από το σημείο A(1,0)

;

β) Για ποιες τιμές του

, η

είναι γνησίως αύξουσα ;

γ) Αν η

παρουσιάζει στην θέση : $x_{0}=0$ τοπικό ελάχιστο , βρείτε το τοπικό της μέγιστο .

δ) Η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο σημείο B(0 , f(0))

τέμνει τον άξονα x'x

στο σημείο $K(k,0) , k\neq 0$ .

Βρείτε την τιμή του

για την οποία ο αριθμός

, είναι ρίζα της

.

Σημείωση : Έχω την άποψη ότι στα θέματα ( ιδίως στο Β ) , πρέπει να περιλαμβάνονται ερωτήματα ,

τα οποία να "τιμούν" την ( βασική ) ύλη , την οποία διδάσκονται οι μαθητές στις μικρότερες τάξεις ...

Άρης Μερσιέ · #2

Είμαι μαθητής της Β' Λυκείου με κάποιες βασικές γνώσεις Ανάλυσης, οπότε διορθώστε με αν έχω κάνει κάπου λάθος.

α) Πρέπει $f(1)=0 \Leftrightarrow b=-5$

β) f'(x)=3x^2 + 2bx + 4-b

Πρέπει $f'(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow (2b)^2 -12(4-b) \leqslant 0$
Μετά από πράξεις προκύπτει ότι $b∈[\frac{−3−√57}{2} , \frac{−3+√57}{2}]$

γ) Ισχύει ότι $f'(0)=0 \Leftrightarrow b=4$
Λύνοντας την εξίσωση f'(x)=0

προκύπτουν οι λύσεις x=0

(θέση τοπικού ελάχιστου) και $x=- \frac{8}{3}$ (θέση τοπικού μέγιστου)
Προκύπτει ότι $f(-\frac{8}{3}) = \frac{364}{27}$

δ) Κλίση εφαπτομένης: f'(0)=4-b

Τεταγμένη σημείου επαφής: f(0)=b

Εξίσωση εφαπτομένης: $y-b=(4-b)(x-0) \Leftrightarrow y=(4-b)x + b=0 \Leftrightarrow x=\frac{b}{b-4}=k$
Ισχύει τώρα ότι: $f(\frac{b}{b-4})=0 \Leftrightarrow \frac{b^3}{(b-4)^3}+\frac{b^3}{(b-4)^2}=0$
Δύο λύσεις: b=0

, απορρίπτεται, αφού $k\neq 0$ , και b=3

, δεκτή, που δίνει k=-3

, επίσης δεκτή.

Σημείωση: Δεν νομίζω ότι είναι αναγκαία η απόδειξη ότι η τιμή $x=-\frac{8}{3}$ είναι θέση τοπικού μέγιστου (με χρήση δεύτερης παραγώγου κλπ.). Μπορούμε να το δικαιολογήσουμε από το "σχήμα" της γραφικής παράστασης μιας τριτοβάθμιας πολυωνυμικής συνάρτησης, καθώς και από το γεγονός ότι δίνεται το ως θέση τοπικού ελάχιστου.

KARKAR · #3

Άρη συγχαρητήρια ! Συμφωνώ και με το έντονο κείμενό σου .

Δύο μόνο παρατηρήσεις : Στο β) ... $f'(x)\geq 0$ κι έτσι το προκύπτον διάστημα είναι κλειστό .

Στο ερώτημα δ) , καλό είναι να φαίνεται η επίλυση της εξίσωσης ( στο θέμα Β είναι κι αυτό

στόχος της εξέτασης ) .

Άρης Μερσιέ · #4

Ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις!

Στο ερώτημα β διόρθωσα το λάθος.
Όσον αφορά το ερώτημα δ (αλλά και τέτοιες εξισώσεις γενικότερα), όταν πρόκειται για επίσημη εξέταση φροντίζω ώστε οι λύσεις μου να είναι αναλυτικές. Στην προκειμένη περίπτωση θεώρησα ότι οι ρίζες της εξίσωσης ήταν το "σημαντικό" κομμάτι, εννοώντας ότι κάποιος που διαβάζει την απάντηση δεν θα "κολλήσει" στην επίλυση της εξίσωσης.

Σε κάθε περίπτωση, ευχαριστώ και πάλι!
Καλό Πάσχα!

Θέμα Β

Θέμα Β

Re: Θέμα Β

Re: Θέμα Β

Re: Θέμα Β

Μέλη σε σύνδεση