Με απλά υλικά (16)

#1

Δίνεται ο πραγματικός αριθμός $\displaystyle a$ και η συνάρτηση $\displaystyle f:R\to R$ με $\displaystyle f(x)=\frac{{{x}^{2}}+ax+a}{{{e}^{x}}}$
α) Να βρείτε τις τιμές του $\displaystyle a$ ώστε να υπάρχουν $\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in R$ με $\displaystyle {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$ ώστε η $\displaystyle f$ να παρουσιάζει
τοπικό ελάχιστο και τοπικό μέγιστο , αντίστοιχα , στις θέσεις αυτές .
β) Για $\displaystyle a\ne 2$ να βρείτε τη μέγιστη τιμή του τοπικού ελαχίστου της $\displaystyle f$ .

#2

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 03, 2019 8:25 pm
Δίνεται ο πραγματικός αριθμός $\displaystyle a$ και η συνάρτηση $\displaystyle f:R\to R$ με $\displaystyle f(x)=\frac{{{x}^{2}}+ax+a}{{{e}^{x}}}$
α) Να βρείτε τις τιμές του $\displaystyle a$ ώστε να υπάρχουν $\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in R$ με $\displaystyle {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$ ώστε η $\displaystyle f$ να παρουσιάζει
τοπικό ελάχιστο και τοπικό μέγιστο , αντίστοιχα , στις θέσεις αυτές .
β) Για $\displaystyle a\ne 2$ να βρείτε τη μέγιστη τιμή του τοπικού ελαχίστου της $\displaystyle f$ .

...την Καλησπέρα μου στο Γιώργη....

α) Είναι η

παραγωγίσιμη με

${f}'(x)=\frac{-{{x}^{2}}+(2-a)x}{{{e}^{x}}}$ και είναι ${f}'(x)=0\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+(2-a)x=0\Leftrightarrow x=0,\,\,x=2-a$

και για να είναι διαφορετικές πρέπει $2-a\ne 0\Leftrightarrow a\ne 2$

Τώρα αν $2-a>0\Leftrightarrow a<2$ η

είναι γνήσια φθίνουσα στα διαστήματα $(-\infty ,\,0],\,[2-a,\,+\infty )$

και γνήσια αύξουσα στο $[0,\,2-a]$ άρα παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το f(0)=a

και τοπικό μέγιστο το $f(2-a)=\frac{4-a}{{{e}^{2-a}}}$

Τώρα αν $2-a<0\Leftrightarrow a>2$ η

είναι γνήσια φθίνουσα στα διαστήματα $(-\infty ,\,2-a],\,\,[0,\,+\infty )$ και

γνήσια αύξουσα στο $[2-a,\,0]$ άρα παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f(0)=a

και τοπικό ελάχιστο το $f(2-a)=\frac{4-a}{{{e}^{2-a}}}$

β) Θεωρώντας την συνάρτηση $g(x)=\frac{4-x}{{{e}^{2-x}}},\,\,x\ge 2$ (του τοπικού ελαχίστου όταν a>2

) έχουμε ότι

$\displaystyle {g}'(x)=\frac{-{{e}^{2-x}}+(4-x){{e}^{2-x}}}{{{e}^{4-2x}}}=\frac{3-x}{{{e}^{2-x}}},\,\,x\ge 2$ και σύμφωνα με αυτό είναι

$\displaystyle {g}'(x)<0$ όταν $\displaystyle 3-x<0\Leftrightarrow x>3$ άρα γνήσια φθίνουσα στο διάστημα $\displaystyle [3,\,\,+\infty )$ και $\displaystyle {g}'(x)>0$ όταν

$\displaystyle 3-x>0\Leftrightarrow x<3$ άρα γνήσια αύξουσα στο διάστημα $\displaystyle [2,\,3]$ οπότε για x=3

η συνάρτηση

παίρνει την μέγιστη τιμή της g(3)=e

και έτσι σε συνδυασμό με το ελάχιστο f(0)=a

όταν

η μέγιστη τιμή του τοπικού ελαχίστου είναι το g(3)=e

.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Με απλά υλικά (16)

Με απλά υλικά (16)

Re: Με απλά υλικά (16)

Μέλη σε σύνδεση