Απορία σε άσκηση βιβλίου

TommysG · #1

Γειά σας, έχω απορία αν η άσκηση του σχολικού βιβλίου (σελίδα 221 άσκηση 8) θα μπορούσε να λυθεί με τον εξής τρόπο
Η άσκηση λέει:
Να αποδείξε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x_0

, τότε

$lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-(x_0-h)}{h}=2f'(x_0)$

Λύση

$f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Θέτω x=x_0+h

και

Άρα έχουμε:

$f'(x_0-h)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}$

Επειδή έχουμε θέσει x_0=x_0-h

άρα

$f'(x_0)=\frac{1}{2} \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}$

$2f'(x_0)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}$

Είναι σωστή σαν λύση;

Christos.N · #2

TommysG έγραψε:
$f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Θέτω και

Όλα ξεκινούν από την αντικατάσταση αυτήν, δηλαδή γράφεις ότι x=x_0+h

για κάποια μεταβλητή

και ταυτόχρονα x_0=x_0-h

για την ίδια μεταβλητή, η δεύτερη όμως που γράφεις ισοδυναμεί με h=0

(μπορείς να το επαληθεύσεις). Που σημαίνει ότι x=x_0

δηλαδή κάτι που μεταβάλλεται είναι σταθερό!!!

Βέβαια έχει και άλλο λάθος στους συλλογισμούς σου παρακάτω σχετικά με την διάκριση των μεταβλητών αλλά όπως σου έγραψα όλα ξεκινάνε από την αντικατάσταση που επέλεξες.

Καλούς πειραματισμούς να έχεις.

Ratio · #3

Εξαρτάται απο το αν θελεις να λύσεις μια άσκηση ή να κατανοήσεις τη λειτουργία των μαθηματικών. Η συμβουλή μου είναι να μην προσεγγίζεις μόνο τεχνικά τις ασκήσεις ούτε να βλέπεις τις αντικαταστήσεις απλά σαν μεθοδολογία να εξαχθεί το αποτέλεσμα που επιθυμείς.
Το θέμα είναι η φιλοσοφία των προσεγγίσεων, δηλαδή τί σημαίνει αυτο το $x_{0}-h$
και το $x_{0}+h$ με $h\rightarrow 0$

Φαντάσου ότι με κέντρο το $x_{0}$ και ακτίνα

διαγράφεις κυκλική περιφέρεια και ζητάς να υπολογίσεις το όριο προσεγγίζοντας το $x_{0}$ από αριστερά και δεξιά.
Επομένως η αντικατάσταση είναι ουσιώδης και βασική, καθώς έτσι όπως το έθεσες ζητούσες όπως πολύ σωστά σου τονίστηκε προηγούμενα από τις δύο ποσότητες να είναι ίσες
Είναι περίπου το ίδιο σε μια απλή δευρτεροβάθμια που σου εξάγει ως ρίζες το x=-1

ή το

να απαντάς οι ρίζες είναι x=-1

και

TommysG έγραψε:Γειά σας, έχω απορία αν η άσκηση του σχολικού βιβλίου (σελίδα 221 άσκηση 8) θα μπορούσε να λυθεί με τον εξής τρόπο
Η άσκηση λέει:
Να αποδείξε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο , τότε

$lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-(x_0-h)}{h}=2f'(x_0)$

Λύση

$f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Θέτω και
Άρα έχουμε:

$f'(x_0-h)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}$

Επειδή έχουμε θέσει άρα

$f'(x_0)=\frac{1}{2} \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}$

$2f'(x_0)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}$

Είναι σωστή σαν λύση;

Απορία σε άσκηση βιβλίου

Απορία σε άσκηση βιβλίου

Re: Απορία σε άσκηση βιβλίου

Re: Απορία σε άσκηση βιβλίου

Μέλη σε σύνδεση