Παραγωγισιμότητα/μονοτονία κλπ

Andreas Kount · #1

Αν για μία συνάρτηση $\displaystyle{f(x)}$ ορισμένη στο $\displaystyle{\mathbb{R}^*}$ είναι $\displaystyle{f'(1)=2}$ και ισχύει:
$\displaystyle{f(xy)=f(x)+f(y)}$ για κάθε $\displaystyle{x,y}$ που ανήκει στο $\displaystyle{\mathbb{R}^*}$ να δείξετε ότι:

Α) η $\displaystyle{f(x)}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}^*}$
Β) να μελετηθεί η μονοτονία της $\displaystyle{f(x)}$
Γ) να μελετήσετε το είδος καμπυλότητας της $\displaystyle{f(x)}$
Δ) να βρείτε τον τύπο της $\displaystyle{f(x)}$

Θα ήθελα μία μικρή βοήθεια αν γίνεται από το 2ο ερώτημα και μετά. Σας ευχαριστώ!!!

gavrilos · #2

Καλησπέρα.Θα ήθελα κάποιος να κοιτάξει τη λύση και να μου επισημάνει τα λάθη μου γιατί κι εμένα με μπερδεύουν κάπως τέτοιες ασκήσεις.Ευχαριστώ εκ των προτέρων!

Α) Αν κατάλαβα καλά,γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{x_{0}=1}$ και θέλουμε να δείξουμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε όλο το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Εύκολα από τη δοσμένη σχέση βρίσκουμε $\displaystyle{f(1)=0}$ .

Θέλουμε δηλαδή να δείξουμε ότι για κάθε $\displaystyle{x_{0}\in \mathbb{R^{*}}}$ το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός.

Θέτουμε στη δοσμένη σχέση όπου $\displaystyle{x}$ το $\displaystyle{\frac{x}{x_{0}}$ και όπου $\displaystyle{y}$ το $\displaystyle{x_{0}}$ (το $\displaystyle{x_{0}}$ επιλέχθηκε τυχαία).

Η σχέση γίνεται $\displaystyle{f(x)=f(x_{0})+f\left(\frac{x}{x_{0}}\right)}$ άρα $\displaystyle{\lim_{x\to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\lim_{x\to x_{0}} \frac{f\left(\frac{x}{x_{0}}\right)}{x-x_{0}}=\lim_{x\to x_{0}} \frac{f\left(\frac{x}{x_{0}}\right)-f(1)}{x-x_{0}}}$ .

Αν στο τελευταίο θέσουμε $\displaystyle{u=\frac{x}{x_{0}}$ τότε αυτό γίνεται $\displaystyle{\lim_{u\to 1} \frac{f(u)-f(1)}{x_{0}(u-1)}=\frac{1}{x_{0}}\cdot \lim_{u\to 1} \frac{f(u)-f(1)}{u-1}=\frac{f'(1)}{x_{0}}$ που είναι πραγματικός αριθμός.

Άρα η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R^{*}}}$ όπως θέλαμε.

Β) Είδαμε παραπάνω πως $\displaystyle{\lim_{x\to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\frac{f'(1)}{x_{0}}=\frac{2}{x_{0}}\Leftrightarrow f'(x_{0})=\frac{2}{x_{0}}$ .

Από αυτήν καταλαβαίνουμε πως η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{(-\infty,0)}$ .

Γ) Για κάθε $\displaystyle{x\neq 0}$ ισχύει $\displaystyle{f'(x)=\frac{2}{x}}$ επομένως $\displaystyle{f''(x)=-\frac{2}{x^{2}}$ άρα η $\displaystyle{f}$ είναι παντού κοίλη.

Δ) Από τη σχέση $\displaystyle{f'(x)=\frac{2}{x}}$ παίρνουμε $\displaystyle{f(x)=2\ln |x|+c}$ και αντικαθιστώντας στην δοσμένη παίρνουμε $\displaystyle{c=0}$ .

Επομένως $\displaystyle{\boxed{f(x)=2\ln |x| \ \forall x\neq 0}}$ .

Andreas Kount · #3

Ευχαριστώ πάρα πολύ!!!!

Παραγωγισιμότητα/μονοτονία κλπ

Παραγωγισιμότητα/μονοτονία κλπ

Re: Παραγωγισιμότητα/μονοτονία κλπ

Re: Παραγωγισιμότητα/μονοτονία κλπ

Μέλη σε σύνδεση