Πρόσημο f' μέσα από ανισοτική σχεση

FreakyDevA · #1

H

παραγωγίσιμη στο

για την οποία ισχύει f(0)<f'(x)<f(1)

, για κάθε $\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}$ . ΝΔΟ:
α) f'>0

.
β)Η συνάρτηση h(x)=f(x)-xf(0)

έχει

.
γ)Η εξίσωση f(x)=0

έχει ακριβώς μια ρίζα στο (-1,0)

.

Christos.N · #2

μόνο το γ) ως υπόδειξη.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Θεοδωρος Παγωνης · #3

α) Επειδή $\displaystyle{f}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ θα είναι και συνεχής , οπότε Θ.Μ.Τ στο διάστημα
$\displaystyle{\left[ 0,1 \right]}$ , επομένως , υπάρχει $\displaystyle{\xi \in \left( 0,1 \right)}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{{f}'(\xi )=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=f(1)-f(0)}$ .
Όμως ισχύει $\displaystyle{f(0)<{f}'(x)<f(1)}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ , άρα και για $\displaystyle{x=\xi }$ , οπότε θα έχω $\displaystyle{f(0)<{f}'(\xi )<f(1)\Leftrightarrow f(0)<f(1)-f(0)<f(1)}$ , άρα $\displaystyle{f(1)-f(0)<f(1)\Leftrightarrow f(0)>0}$ , έτσι η αρχική σχέση γίνεται $\displaystyle{{f}'(x)>f(0)>0}$ .
β) $\displaystyle{h}$ συνεχής παραγωγίσιμη με $\displaystyle{{h}'(x)={f}'(x)-f(0)>0}$ από ά ερώτημα.
γ) έχει απαντήσει ο Χρήστος πιο πάνω.

Υ.Γ. διορθώθηκε μια έκφραση στο Θ.Μ.Τ. έπειτα από παρατήρηση , του KARKAR, τον οποίο και ευχαριστώ πολύ.

Πρόσημο f' μέσα από ανισοτική σχεση

Πρόσημο f' μέσα από ανισοτική σχεση

Re: Πρόσημο f' μέσα από ανισοτική σχεση

Re: Πρόσημο f' μέσα από ανισοτική σχεση

Μέλη σε σύνδεση