Άθροισμα 5

#1

Δίδεται η συνεχής συνάρτηση , $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για την οποία, $f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) < 5 < f\left( 1 \right) + f\left( 4 \right)$ .

Δείξετε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $\xi ,\eta$ με $\xi + \eta = 5$ και $f\left( \xi \right) + f\left( \eta \right) = 5$ .

#2

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 10, 2022 12:55 pm
Δίδεται η συνεχής συνάρτηση , $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για την οποία, $f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) < 5 < f\left( 1 \right) + f\left( 4 \right)$ .

Δείξετε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $\xi ,\eta$ με $\xi + \eta = 5$ και $f\left( \xi \right) + f\left( \eta \right) = 5$ .

Έστω $\displaystyle g(x) = f(x) + f(5 - x)$ που είναι συνεχής στο $\mathbb{R},$ άρα και στο [1,2].

Αλλά, $\displaystyle g(2) < 5 < g(1).$

Από το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει $\xi \in (1,2),$ ώστε $\displaystyle g(\xi ) = 5 \Leftrightarrow f(\xi ) + f(5 - \xi ) = 5.$

Επιλέγω $\displaystyle \eta = 5 - \xi,$ οπότε θα είναι $\displaystyle \eta + \xi = 5$ και $\displaystyle f(\xi ) + f(\eta ) = 5$

Άθροισμα 5

Άθροισμα 5

Re: Άθροισμα 5

Μέλη σε σύνδεση