Εξίσωση με σύνθεση συναρτήσεων

#1

Αν η $f:\mathbb R \to \mathbb R$ συνεχής συνάρτηση χωρίς ρίζες, δείξτε ότι η εξίσωση

f(f(f(x)))+f(f(x))+f(x)=0

είναι αδύνατη.

Ισχύει το ίδιο αν η

δεν είναι συνεχής;

Ας την αφήσουμε στους μαθητές μας για

ώρες.
Λύνεται σε μια δυο γραμμές, αν την δεις σωστά.

nikos_el · #2

Επειδή η

είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται στο $\mathbb{R}$ , διατηρεί πρόσημο σε αυτό. Οπότε $f\left(x\right)>0, \forall x\in\mathbb{R}$ ή $f\left(x\right)<0, \forall x\in\mathbb{R}$ . Τότε όμως, θα ισχύει αντίστοιχα: $f\left(f\left(x\right)\right)>0, \forall x\in\mathbb{R}$ ή $f\left(f\left(x\right)\right)<0, \forall x\in\mathbb{R}$ και $f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)>0, \forall x\in\mathbb{R}$ ή $f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)<0, \forall x\in\mathbb{R}$ . Άρα, $f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)+f\left(f\left(x\right)\right)+f\left(x\right)>0, \forall x\in\mathbb{R}$ ή $f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)+f\left(f\left(x\right)\right)+f\left(x\right)<0, \forall x\in\mathbb{R}$ , δηλαδή η δεδομένη εξίσωση είναι αδύνατη.

#3

nikos_el έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 13, 2018 12:43 pm
Επειδή η είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται στο $\mathbb{R}$ , διατηρεί πρόσημο σε αυτό. Οπότε $f\left(x\right)>0, \forall x\in\mathbb{R}$ ή $f\left(x\right)<0, \forall x\in\mathbb{R}$ . Τότε όμως, θα ισχύει αντίστοιχα: $f\left(f\left(x\right)\right)>0, \forall x\in\mathbb{R}$ ή $f\left(f\left(x\right)\right)<0, \forall x\in\mathbb{R}$ και $f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)>0, \forall x\in\mathbb{R}$ ή $f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)<0, \forall x\in\mathbb{R}$ . Άρα, $f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)+f\left(f\left(x\right)\right)+f\left(x\right)>0, \forall x\in\mathbb{R}$ ή $f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)+f\left(f\left(x\right)\right)+f\left(x\right)<0, \forall x\in\mathbb{R}$ , δηλαδή η δεδομένη εξίσωση είναι αδύνατη.

Αυτό είχα κατά νου.

Μένει η περίπτωση που η

δεν είναι συνεχής.

sot arm · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 13, 2018 12:48 pm

nikos_el έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 13, 2018 12:43 pm
Επειδή η είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται στο $\mathbb{R}$ , διατηρεί πρόσημο σε αυτό. Οπότε $f\left(x\right)>0, \forall x\in\mathbb{R}$ ή $f\left(x\right)<0, \forall x\in\mathbb{R}$ . Τότε όμως, θα ισχύει αντίστοιχα: $f\left(f\left(x\right)\right)>0, \forall x\in\mathbb{R}$ ή $f\left(f\left(x\right)\right)<0, \forall x\in\mathbb{R}$ και $f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)>0, \forall x\in\mathbb{R}$ ή $f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)<0, \forall x\in\mathbb{R}$ . Άρα, $f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)+f\left(f\left(x\right)\right)+f\left(x\right)>0, \forall x\in\mathbb{R}$ ή $f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)+f\left(f\left(x\right)\right)+f\left(x\right)<0, \forall x\in\mathbb{R}$ , δηλαδή η δεδομένη εξίσωση είναι αδύνατη.

Αυτό είχα κατά νου.

Μένει η περίπτωση που η δεν είναι συνεχής.

Τότε η εξίσωση έχει λύσεις, σαν παράδειγμα μπορώ να πάρω:
$\displaystyle{f(x)=\frac{1}{2} , x\leq 0 \wedge f(x)=-1 , x>0}$
Τότε είναι προφανές ότι οποιοσδήποτε αρνητικός αριθμός είναι λύση.

Εξίσωση με σύνθεση συναρτήσεων

Εξίσωση με σύνθεση συναρτήσεων

Re: Εξίσωση με σύνθεση συναρτήσεων

Re: Εξίσωση με σύνθεση συναρτήσεων

Re: Εξίσωση με σύνθεση συναρτήσεων

Μέλη σε σύνδεση