Με απλά υλικά (12)

#1

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle f(x)=\ln (x+\sqrt{{{x}^{2}}+1})$
α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να αποδείξετε ότι είναι περιττή
β. Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία
γ. Να δείξετε ότι αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη

#2

exdx έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 04, 2018 9:53 am
Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle f(x)=\ln (x+\sqrt{{{x}^{2}}+1})$
α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να αποδείξετε ότι είναι περιττή
β. Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία
γ. Να δείξετε ότι αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη

Γεια σου Γιώργη!

Ξεκινάω...
α) $\displaystyle x + \sqrt {{x^2} + 1} > 0$ που προφανώς ισχύει για $x\ge 0.$
Αν x<0,

τότε από $\displaystyle \sqrt {{x^2} + 1} > - x > 0 \Rightarrow {x^2} + 1 > {x^2}$ που ισχύει. Άρα πεδίο ορισμού είναι το $\mathbb{R}$

Για κάθε $x\in \mathbb{R},$ $\displaystyle f(x) + f( - x) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + \ln \left( { - x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = \ln ({x^2} + 1 - {x^2}) = \ln 1 = 0$

που σημαίνει ότι η

είναι περιττή.

β) Αν $\displaystyle 0 < {x_1} < {x_2},$ εύκολα προκύπτει ότι f(x_1)<f(x_2).

Αν $\displaystyle {x_1} < {x_2} < 0 \Leftrightarrow - {x_1} > - {x_2} > 0 \Leftrightarrow f( - {x_1}) > f( - {x_2}) \Leftrightarrow - f({x_1}) > - f({x_2}) \Leftrightarrow f({x_1}) < f({x_2})$

Η

είναι λοιπόν γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα $\displaystyle ( - \infty ,0],[0, + \infty ),$ άρα αν

$\displaystyle {x_1} < 0 < {x_2} \Leftrightarrow f({x_1}) < f(0) < f({x_2}),$ δηλαδή η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}.$

γ) Αφού η

είναι γνησίως αύξουσα θα είναι και "1-1",

άρα αντιστρέψιμη. Θα βρω πρώτα το πεδίο ορισμού της αντίστροφης που είναι το σύνολο τιμών της

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = + \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{u \to + \infty } \ln u = + \infty ,$ όπου $\displaystyle {u = x + \sqrt {{x^2} + 1} }$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{(x + \sqrt {{x^2} + 1} )(\sqrt {{x^2} + 1} - x)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{1}{{ - x\left( {\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + 1} \right)}} =0$

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{u \to {0^ + }} \ln u = - \infty .$ άρα το πεδίο ορισμού της $\displaystyle {f^{ - 1}}$ είναι το $\mathbb{R}.$

Τώρα θα βρούμε τον τύπο της: $\displaystyle f(x) = y \Leftrightarrow \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = y \Leftrightarrow {e^y} = x + \sqrt {{x^2} + 1},$

απ' όπου τελικά παίρνω $\displaystyle x = \frac{{{e^{2y}} - 1}}{{2{e^y}}}.$ Επομένως: $\boxed{{f^{ - 1}}(x) = \frac{{{e^{2x}} - 1}}{{2{e^x}}}}$

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 04, 2018 10:54 am
Θα επανέλθω για το γ) ερώτημα αν δεν απαντηθεί.

Ας το δούμε, επειδή έχει ενδιαφέρον. Πριν από αυτό ας προσθέσω ότι η εν λόγω συνάρτηση είναι η αντίστροφη
πολλή γνωστής στοιχειώδους συνάρτησης (βλέπε παρακάτω), που όμως δεν την μελετάμε στο Λύκειο.

Έστω $y=f(x) = \ln (x+\sqrt {x^2+1})$ . Από την περιττότητα είναι $-y=f(-x) = \ln (-x+\sqrt {x^2+1})$ . Οι δύο γράφονται

$\displaystyle{ e^{y} = x+\sqrt {x^2+1}, e^{-y} = -x+\sqrt {x^2+1}}$ , Αφαιρώντας έπεται αμέσως $\displaystyle{ \frac {e^{y} - e^{-y} }{2}=x}$ .

Με άλλα λόγια η αντίστροφη είναι η $f^{-1}(x)= \frac {1 }{2}(e^{x} - e^{-x})$ στο $\mathbb R$ (άμεσο).

Σχολιάζω ότι πρόκειται για την $\sinh x$ (υπερβολικό ημίτονο).

Ουπς. Ο Γιώργος έκανε προσθήκη στην απάντησή του, όσο έγραφα. Το αφήνω αν και περιττό.

Με απλά υλικά (12)

Με απλά υλικά (12)

Re: Με απλά υλικά (12)

Re: Με απλά υλικά (12)

Μέλη σε σύνδεση