1-1 και επί

BAGGP93 · #1

Ας είναι $\displaystyle{A\,,B}$ δυο μη κενά υποσύνολα του $\displaystyle{\mathbb{R}}$ και μια συνάρτηση $\displaystyle{f:A\to B}$ .

1. Να δειχθεί ότι η $\displaystyle{f}$ είναι 1-1 αν, και μόνο αν, ικανοποιεί την ακόλουθη συνθήκη : αν $\displaystyle{g\,,h:X\to A}$

είναι δύο συναρτήσεις, όπου $\displaystyle{X\subseteq \mathbb{R}\,,X\neq \varnothing}$ με $\displaystyle{f\circ g=f\circ h}$ τότε $\displaystyle{g=h}$ .

2. Να δειχθεί ότι η $\displaystyle{f}$ είναι επί αν, και μόνο αν, ικανοποιεί την ακόλουθη συνθήκη : αν $\displaystyle{g\,,h:B\to Y$

είναι δύο συναρτήσεις, όπου $\displaystyle{Y\subseteq \mathbb{R}\,,Y\neq \varnothing}$ με $\displaystyle{g\circ f=h\circ f}$ τότε $\displaystyle{g=h}$ .

Γ' Λυκείου - Μέχρι 4-12-2016

BAGGP93 · #2

Τώρα για όλους.

Ίσως το δυσκολότερο κομμάτι είναι το αντίστροφο του 2, που ζητείται να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση είναι επί με δοσμένη συνθήκη.

#3

BAGGP93 έγραψε:Ας είναι $\displaystyle{A\,,B}$ δυο μη κενά υποσύνολα του $\displaystyle{\mathbb{R}}$ και μια συνάρτηση $\displaystyle{f:A\to B}$ .

1. Να δειχθεί ότι η $\displaystyle{f}$ είναι 1-1 αν, και μόνο αν, ικανοποιεί την ακόλουθη συνθήκη : αν $\displaystyle{g\,,h:X\to A}$

είναι δύο συναρτήσεις, όπου $\displaystyle{X\subseteq \mathbb{R}\,,X\neq \varnothing}$ με $\displaystyle{f\circ g=f\circ h}$ τότε $\displaystyle{g=h}$ .

2. Να δειχθεί ότι η $\displaystyle{f}$ είναι επί αν, και μόνο αν, ικανοποιεί την ακόλουθη συνθήκη : αν $\displaystyle{g\,,h:B\to Y$

είναι δύο συναρτήσεις, όπου $\displaystyle{Y\subseteq \mathbb{R}\,,Y\neq \varnothing}$ με $\displaystyle{g\circ f=h\circ f}$ τότε $\displaystyle{g=h}$ .

1. Αν $\displaystyle{f}$ είναι 1-1 τότε $\displaystyle{g=h}$ γιατί αλλιώς υπάρχει

με $g(a) \ne h(a)$ . Αλλά τότε $f(g(a)) \ne f(h(a))$ , άτοπο. Αντίστροφα αν f(a)=f(b)

με $a\ne b$ , παίρνουμε τις σταθερές συναρτήσεις $g(x) = a, \, h(x) = b \, \forall x$ . Είναι τότε f(g(x)) = f(a)=f(b) = f(h(x))

για κάθε

αν και $g\ne h$ . Άτοπο.

2. Αν η

είναι επί, τότε για κάθε

υπάρχει

με

. Έπεται

, δηλαδή

. Αντίστροφα, αν

δεν είναι επί, υπάρχουν

που δεν είναι τιμές της

. Ορίζουμε g,h

στην μεν εικόνα της

ως $g(f(x)) = f(x), \, h(f(x)) = f(x)$ αλλά για

εκτός εικόνας θέτουμε g(a) , h(a)

τυχαία με μόνο περιορισμό $g(a) \ne h(a)$ . Τότε εκ κατασκευής $\displaystyle{g\circ f=h\circ f}$ πλην όμως $\displaystyle{g \ne h}$ . Άτοπο.

Ιστοσελίδα · #4

Μεταφέρθηκε εδώ από το Ασκήσεις μόνο για μαθητές.

1-1 και επί

1-1 και επί

Re: 1-1 και επί

Re: 1-1 και επί

Re: 1-1 και επί

Μέλη σε σύνδεση