Συναρτησιακη σχέση

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Καλημέρα,

επειδή η μαθηματικη επιστημη ειναι αλυσιδα...
ΑΣΚΗΣΗ
Έστω συνάρτηση f(x) ορισμένη στο (0, +άπειρο) με την ιδιοτητα, όταν οι τιμες της ανεξαρτητης μεταβλητης x βρισκονται σε γεωμετρικη προοδο (με λόγο οποιοδήποτε θετικό ), οι αντιστοιχες τιμές του y να βρισκονται σε αριθμητικη προοδο και f(1)=0. Να αποδειχθει ότι f(αβ) = f(α)+f(β) για κάθε α, β>0.

#2

Αν $x, bx, b^{2}x, ...$ η γεωμετρική πρόοδος με λόγο b>0

.

Τότε η $f(x), f(bx), f(b^{2}x), ...$ είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά

.

Επομένως w = f(bx) - f(x)

(Ι)

Αν το x = 1, τότε ισχύει ότι: $w = f(b) - f(1) \Leftrightarrow w = f(b)$ (ΙΙ)

Θέτοντας στην (Ι) a =x

, όπου

,

βρίσκουμε ότι:

w = f(ab) - f(a)

και αφού

,

οπότε $f(b) = f(ab) - f(a) \Leftrightarrow f(ab) = f(a) + f(b)$ , για κάθε a,b > 0

.

Κατόπιν υπόδειξης του cretaman, άλλαξα λίγο τη λύση διότι κάπου κόλλαγε η προηγούμενη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #3

Υποδειγματικη λύση, ευχαριστώ Λευτερη!

mathxl · #4

Μία λύση είναι η λογαριθμική συνάρτηση, είναι άραγε η μοναδική;

#5

Αν θέσουμε $\displaystyle{f(e^x)=g(x)}$ τότε με $\displaystyle{a=e^A,b=e^B}$ παίρνουμε $\displaystyle{f(e^A.e^B)=f(e^A)+f(e^B)\Leftrightarrow f(e^{A+B})=f(e^A)+f(e^B)\Leftrightarrow g(A+B)=g(A)+g(B) , Cauchy}$ που είναι πολυσυζητημένη
Άρα η μοναδικότητά της ανάγεται στην Cauchy

mathxl · #6

Σωστός ο παίκτης. Μήπως μας χρειάζεται η πληροφορία της μονοτονίας ή συνέχειας ή της φραγμένης ή κάτι επιπλέον (για να έχουμε μοναδική λύση);

#7

Σωστά. Στην θαυμάσια ιστοσελίδα του Νίκου του Μαυρογιάννη στον "Εκθέτη" μπορεί να δει κανείς πολλά πράγματα καθώς και στην viewtopic.php?f=50&t=295

Συναρτησιακη σχέση

Συναρτησιακη σχέση

Re: Συναρτησιακη σχέση

Re: Συναρτησιακη σχέση

Re: Συναρτησιακη σχέση

Re: Συναρτησιακη σχέση

Re: Συναρτησιακη σχέση

Re: Συναρτησιακη σχέση

Μέλη σε σύνδεση