Υπαρξιακό πρόβλημα

KARKAR · #1

: Υπαρξιακό πρόβλημα.png (21.22 KiB) Προβλήθηκε 1003 φορές

Σημείο

του 1ου τεταρτημορίου , κινείται πάνω στον κύκλο με εξίσωση : x^2+y^2=4

.

Από το σημείο P(5,0)

φέρουμε κάθετο τμήμα

, προς την ημιευθεία

. Έστω

το μήκος του τμήματος

. Δείξτε ότι υπάρχει $x\in (2,3)$ τέτοιο ώστε (SPT)=3

.

#2

$\displaystyle{(SRT)-3=\frac{1}{2}(ST)(TP)-3=\frac{1}{2}x\sqrt{25-(x+2)^2}-3=f(x)}$
$\displaystyle{f}$ συνεχής
$\displaystyle{f(3)=-3<0,f(2+1/10)=(21/20)\sqrt{99}/10-3>0}$ οπως μπορει να δειχθει ευκολα αν απομονώσουμε το ριζικό...
Μετά ΘΒ

KARKAR · #3

Ας πούμε ότι θέλουμε να αποφύγουμε το άκρο : $2+\dfrac{1}{10}$ . Εργαζόμαστε ως εξής :

Η : $\dfrac{1}{2}x\sqrt{25-(x+2)^2}=3$ , γράφεται : $x\sqrt{25-(x+2)^2}=6 , 0\leq x\leq 3$ .

ή : x^2(25-(x+2)^2-36=0

, ισοδύναμα : (2-x)(x^3+6x^2-9x-18)=0

.

Η εξίσωση αυτή έχει ρίζα το x=2

, δηλαδή το ένα άκρο του κλειστού διαστήματος .

Όμως , για την συνεχή στο [2,3]

συνάρτηση : f(x)=x^3+6x^2-9x-18

,

είναι : f(2)=-4< 0 , f(3)=36 >0

, επομένως από Θ. Bolzano

η

έχει ρίζα στο (2,3)

, η οποία είναι και ρίζα της αρχικής εξίσωσης .

Υπαρξιακό πρόβλημα

Υπαρξιακό πρόβλημα

Re: Υπαρξιακό πρόβλημα

Re: Υπαρξιακό πρόβλημα

Μέλη σε σύνδεση