1-1

maiksoul · #1

Με αφορμή αυτήν viewtopic.php?f=52&t=60269, που πρότεινε ο κύριος Στεργίου

ΑΣΚΗΣΗ

Να αποδείξετε ότι κάθε συνάρτηση

με την ιδιότητα $e^{f(x)}+xf(x) =x\ln x +x -2$ , $\forall x>0$ είναι 1-1

#2

maiksoul έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 19, 2017 12:38 am
Με αφορμή αυτήν viewtopic.php?f=52&t=60269, που πρότεινε ο κύριος Στεργίου

ΑΣΚΗΣΗ

Να αποδείξετε ότι κάθε συνάρτηση με την ιδιότητα $e^{f(x)}+xf(x) =x\ln x +x -2$ , $\forall x>0$ είναι

...μια ανιμετώπιση...της νύχτας...

Έστω ότι υπάρχουν ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\in (0,\,\,+\infty )$ με $f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})$ που ${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$ τότε αν είναι

${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ επειδή από την δοσμένη σχέση έχουμε

${{e}^{f(x)}}+xf(x)=x\ln x+x-2\Leftrightarrow \frac{{{e}^{f(x)}}}{x}+f(x)=\ln x+1-\frac{2}{x}$ (1)

προκύπτει ότι $\ln {{x}_{1}}<\ln {{x}_{2}},\,\,\frac{2}{{{x}_{1}}}>\frac{2}{{{x}_{2}}}\Leftrightarrow \,-\frac{2}{{{x}_{1}}}<-\frac{2}{{{x}_{2}}}$

και με πρόσθεση κατά μέλη

$\ln {{x}_{1}}-\frac{2}{{{x}_{1}}}<\ln {{x}_{2}}-\frac{2}{{{x}_{2}}}\Leftrightarrow \ln {{x}_{1}}-\frac{2}{{{x}_{1}}}+1<\ln {{x}_{2}}-\frac{2}{{{x}_{2}}}+1$ άρα και

$\frac{{{e}^{f({{x}_{1}})}}}{{{x}_{1}}}+f({{x}_{1}})<\frac{{{e}^{f({{x}_{2}})}}}{{{x}_{2}}}+f({{x}_{2}})\Leftrightarrow \frac{{{e}^{f({{x}_{1}})}}}{{{x}_{1}}}<\frac{{{e}^{f({{x}_{2}})}}}{{{x}_{2}}}\Leftrightarrow \frac{1}{{{x}_{1}}}<\frac{1}{{{x}_{2}}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}<{{x}_{1}}$

που είναι άτοπο, και όμοια αν ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}$ άρα από $f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})$ έχουμε μόνο

${{x}_{1}}={{x}_{2}}$ άρα η

είναι

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

1-1

1-1

Re: 1-1

Μέλη σε σύνδεση